秒懂算法 | 搜索基础

TiAmozhang
全栈领域优质创作者
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2023-03-07 13:22:42
加精

01、搜索简介
搜索,就是查找解空间,它是“暴力法”算法思想的具体实现。

暴力法(Brute force,又译为蛮力法):把所有可能的情况都罗列出来,然后逐一检查,从中找到答案。这种方法简单、直接,不玩花样,利用了计算机强大的计算能力。

搜索是“通用”的方法。一个问题,如果比较难,那么先尝试一下搜索,或许能启发出更好的算法。竞赛的时候,遇到不会的难题,如果有时间,就用搜索提交一下,说不定判题数据很弱,就通过了。

搜索的思路很简单,但是操作起来也并不容易。一般有以下操作:

(1)找到所有可能的数据,并且用数据结构表示和存储。常用的搜索算法是BFS和DFS。

(2)优化。尽量多地排除不符合条件的数据,以减少搜索的空间。

(3)用某个算法快速检索这些数据。

02、搜索算法的基本思路


搜索的基本算法是:深度优先搜索(DFS, Depth-First Search)、宽度优先搜索(BFS, Breadth-First Search,或称为广度优先搜索)。

这两个算法的思想,用老鼠走迷宫的例子来说明,又形象又透彻。

迷宫内部的路错综复杂,老鼠从入口进去后,怎么才能找到出口?有两种不同的方法:

(1)一只老鼠走迷宫。它在每个路口,都选择先走右边(当然,选择先走左边也可以),能走多远就走多远;直到碰壁无法再继续往前走,然后往回退一步,这一次走左边,然后继续往下走。用这个办法,能走遍所有的路,而且不会重复(回退不算重复走)。这个思路,就是DFS。

(2)一群老鼠走迷宫。假设老鼠是无限多的,这群老鼠进去后,在每个路口,都派出部分老鼠探索所有没走过的路。走某条路的老鼠,如果碰壁无法前行,就停下;如果到达的路口已经有别的老鼠探索过了,也停下。很显然,所有的道路都会走到,而且不会重复。这个思路,就是BFS。BFS看起来像“并行计算”,不过,由于程序是单机顺序运行的,所以,可以把BFS看成是并行计算的模拟。

简洁地说:BFS是“逐层扩散”,DFS是“一路到底、逐层回退”。

下面用一棵二叉树为例子,演示BFS和DFS的访问顺序。

 

▍图1 一棵二叉树

(1)BFS的访问顺序是:{E B G A D F I C H},即“第1层E–第2层BG–第3层ADFI–第4层CH”。

(2)DFS的访问顺序,设先访问左节点,后访问右节点,那么访问顺序是:{E B A D C G F I H}。需要注意的是,访问顺序不是输出顺序。例如上面的二叉树,它的中序遍历、先序遍历、后序遍历都不同,但是对节点的访问顺序是一样的(实际上就是先序遍历)。具体操作,见下一节的代码。

03、BFS的性质和代码实现


BFS和DFS的实现:“BFS=队列”,“DFS=递归”。

为什么“BFS=队列”呢?以老鼠走迷宫为例,从起点s开始,一层一层地扩散出去。处理完离s近的第i层之后,再处理第i+1层。这一操作用队列最方便,处理第i层的节点a时,把a的第i+1层的邻居,放到队列尾部即可。

队列内的节点有2个特征:

(1)处理完第i层后,才会处理第i+1层;

(2)队列中最多有2层节点,其中第i层节点都在第i+1层前面。

下面给出BFS遍历图1二叉树的代码。分别给出了静态版和指针版二叉树的代码,我们一般用静态版二叉树,不易出错。两个代码都使用STL的queue队列。

两个代码的输出都是:E B G A D F I C H。

BFS(静态版二叉树)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
struct Node{                  //静态二叉树
    char value;
    int lchild, rchild;
}node[maxn];
 
int index = 0; //记录节点
int newNode(char val){
  node[index].value = val;
  node[index].lchild = -1; //-1表示空
  node[index].rchild = -1;
  return index ++;
}
void insert(int &father, int child, int l_r){ //插入孩子
  if(l_r == 0) //左孩子
    node[father].lchild = child;
  else                      //右孩子
    node[father].rchild = child;
}
int buildtree(){ //建一棵二叉树
    int A = newNode('A');int B = newNode('B');int C = newNode('C');
    int D = newNode('D');int E = newNode('E');int F = newNode('F');
    int G = newNode('G');int H = newNode('H');int I = newNode('I');
    insert(E,B,0); insert(E,G,1); //E的左孩子是B,右孩子是G
    insert(B,A,0); insert(B,D,1);
    insert(G,F,0); insert(G,I,1);
    insert(D,C,0); insert(I,H,0);
    int root = E;
    return root;
}
int main(){
    int root = buildtree();
    queue <int> q;
    q.push(root); //从根节点开始
    while(q.size()){
        int tmp = q.front();
        cout << node[tmp].value << " "; //打印队头
        q.pop(); //去掉队头
        if(node[tmp].lchild != -1) q.push(node[tmp].lchild); //左孩子入队
        if(node[tmp].rchild != -1) q.push(node[tmp].rchild); //右孩子入队
    }
    return 0;
}

作为对照,下面给出指针版二叉树代码。

BFS(指针版二叉树)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
struct node{ //指针二叉树
    char value;
    node *l, *r;
    node(char value = '#', node *l = NULL, node *r = NULL):value(value), l(l), r(r){}
};
void remove_tree(node *root){ //释放空间
    if(root == NULL) return;
    remove_tree(root->l);
    remove_tree(root->r);
    delete root;
}
int main(){
    node *A,*B,*C,*D,*E,*F,*G,*H,*I; //以下建一棵二叉树
    A = new node('A'); B = new node('B'); C = new node('C');
    D = new node('D'); E = new node('E'); F = new node('F');
    G = new node('G'); H = new node('H'); I = new node('I');
    E->l = B; E->r = G; B->l = A; B->r = D;
    G->l = F; G->r = I; D->l = C; I->l = H; //以上建了一棵二叉树
 
    queue <node> q;
    q.push(*E);
    while(q.size()){
        node *tmp;
        tmp = &(q.front());
        cout << tmp->value << " "; //打印队头
        q.pop(); //去掉队头
        if(tmp->l) q.push(*(tmp->l)); //左孩子入队
        if(tmp->r) q.push(*(tmp->r)); //右孩子入队
    }
    remove_tree(E);
    return 0;
}

 

 BFS是逐层扩散的,非常符合在图上计算最短路径,先扩散到的节点,离根节点更近。很多最短路径算法,都是在BFS上发展出来的。

04、DFS的常见操作和代码实现


1. DFS的常见操作


DFS的原理,就是递归的过程。

DFS的代码比BFS更简短一些。下面给出两个代码,分别基于指针版和静态版二叉树。它们输出了图1二叉树的各种DFS操作,有时间戳、DFS序、树深度、子树节点数,另外还给出了二叉树的中序输出、先序输出、后序输出。

DFS访问节点,经常用到以下操作:

(1)节点第一次被访问的时间戳。用dfn[i]表示节点i第一次被访问的时间戳,函数dfn_order()打印出了时间戳:

dfn[E]=1; dfn[B]=2; dfn[A]=3; dfn[D]=4; dfn[C]=5;
dfn[G]=6; dfn[F]=7; dfn[I]=8; dfn[H]=9。

时间戳就是先序输出。

(2)DFS序。在递归时,每个节点会来回访问2次,即第1次访问和第2次回溯。函数visit_order()打印出了DFS序:

{E B A A D C C D B G F F I H H I G E}

这个序列有一个重要特征:每个节点出现2次,被这2次包围起来的,是以它为父节点的一棵子树。例如序列中的{B A A D C C D B},就是B为父节点的一棵子树,又例如{I H H I},是以I为父节点的一棵子树。这个特征是递归操作产生的。

(3)树的深度。从根节点往子树DFS,每个节点第一次被访问时,深度加1,从这个节点回溯时,深度减1。用deep[i]表示节点i的深度,函数deep_node()打印出了深度:

deep[E]=1; deep[B]=2; deep[A]=3; deep[D]=3; deep[C]=4;
deep[G]=2; deep[F]=3; deep[I]=3; deep[H]=4。

(4)子树节点总数。用num[i]表示以i为父亲的子树上的节点总数,例如,以B为父节点的子树,共有4个节点{A B C D}。只需要简单地DFS一次就能完成,每个节点的数量等于它的2个子树的数量相加,再加1,即加它自己。函数num_node()做了计算并打印出了以每个节点为父亲的子树上的节点数量。

另外还有树的重心:在一棵中,找到一个节点,把树变为以该点为根的有根树,并且最大子树的结点数最小。本文没有给出代码。

我们一般用静态版二叉树写代码。作为对照,后面也给出指针版二叉树的代码。

DFS(静态版二叉树)
 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
 
struct Node{
    char value;
    int lchild, rchild;
}node[maxn];
 
int index = 0; //记录节点
int newNode(char val){ //新建节点
  node[index].value = val;
  node[index].lchild = -1; //-1表示空
  node[index].rchild = -1;
  return index ++;
}
void insert(int &father, int child, int l_r){ //插入孩子
  if(l_r == 0) //左孩子
    node[father].lchild = child;
  else                      //右孩子
    node[father].rchild = child;
}
int dfn[maxn] = {0}; //dfn[i]是节点i的时间戳
int dfn_timer = 0;
void dfn_order (int father){
    if(father != -1){
        dfn[father] = ++dfn_timer;
        printf("dfn[%c]=%d; ", node[father].value, dfn[father]);
                                    //打印访问节点的时间戳
        dfn_order (node[father].lchild);
        dfn_order (node[father].rchild);
    }
}
int visit_timer = 0;
void visit_order (int father){ //打印DFS序
    if(father != -1){
        printf("visit[%c]=%d; ", node[father].value, ++visit_timer);
                                      //打印DFS序:第1次访问节点
        visit_order (node[father].lchild);
        visit_order (node[father].rchild);
        printf("visit[%c]=%d; ", node[father].value, ++visit_timer);
                                      //打印DFS序:第2次回溯
    }
}
int deep[maxn] = {0}; //deep[i]是节点i的深度
int deep_timer = 0;
void deep_node (int father){
    if(father != -1){
        deep[father] = ++deep_timer;
        printf("deep[%c]=%d; ",node[father].value,deep[father]);
                                      //打印树的深度,第一次访问时,深度+1
        deep_node (node[father].lchild);
        deep_node (node[father].rchild);
        deep_timer--; //回溯时,深度-1
    }
}
int num[maxn] = {0}; //num[i]是以i为父亲的子树上的节点总数
int num_node (int father){
    if(father == -1) return 0;
    else{
        num[father] = num_node (node[father].lchild) +
                      num_node (node[father].rchild) + 1;
        printf("num[%c]=%d; ", node[father].value, num[father]); //打印数量
        return num[father];
    }
}
void preorder (int father){ //求先序序列
    if(father != -1){
        cout << node[father].value <<" "; //先序输出
        preorder (node[father].lchild);
        preorder (node[father].rchild);
    }
}
void inorder (int father){ //求中序序列
    if(father != -1){
        inorder (node[father].lchild);;
        cout << node[father].value <<" "; //中序输出
        inorder (node[father].rchild);
    }
}
void postorder (int father){ //求后序序列
    if(father != -1){
        postorder (node[father].lchild);;
        postorder (node[father].rchild);
        cout << node[father].value <<" "; //后序输出
    }
}
int buildtree(){ //建一棵树
    int A = newNode('A');int B = newNode('B');int C = newNode('C');
    int D = newNode('D');int E = newNode('E');int F = newNode('F');
    int G = newNode('G');int H = newNode('H');int I = newNode('I');
    insert(E,B,0); insert(E,G,1); //E的左孩子是B,右孩子是G
    insert(B,A,0); insert(B,D,1);
    insert(G,F,0); insert(G,I,1);
    insert(D,C,0); insert(I,H,0);
    int root = E;
    return root;
}
int main(){
    int root = buildtree();
    cout <<"dfn order: "; dfn_order(root); cout <<endl; //打印时间戳
    cout <<"visit order: "; visit_order(root); cout <<endl; //打印DFS序
    cout <<"deep order: "; deep_node(root); cout <<endl; //打印节点深度
    cout <<"num of tree: "; num_node(root); cout <<endl; //打印子树上的节点数
    cout <<"in order: "; inorder(root); cout << endl; //打印中序序列
    cout <<"pre order: "; preorder(root); cout << endl; //打印先序序列
    cout <<"post order: "; postorder(root); cout << endl; //打印后序序列
    return 0;
}
/*输出是:
dfn order: dfn[E]=1; dfn[B]=2; dfn[A]=3; dfn[D]=4; dfn[C]=5; dfn[G]=6; dfn[F]=7; dfn[I]=8; dfn[H]=9;
visit order: visit[E]=1; visit[B]=2; visit[A]=3; visit[A]=4; visit[D]=5; visit[C]=6; visit[C]=7; visit[D]=8; visit[B]=9; visit[G]=10; visit[F]=11; visit[F]=12; visit[I]=13; visit[H]=14; visit[H]=15; visit[I]=16; visit[G]=17; visit[E]=18;
deep order: deep[E]=1; deep[B]=2; deep[A]=3; deep[D]=3; deep[C]=4; deep[G]=2; deep[F]=3; deep[I]=3; deep[H]=4;
num of tree: num[A]=1; num[C]=1; num[D]=2; num[B]=4; num[F]=1; num[H]=1; num[I]=2; num[G]=4; num[E]=9;
in order: A B C D E F G H I
pre order: E B A D C G F I H
post order: A C D B F H I G E
*/

 DFS(指针版二叉树)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
struct node{
    char value;
    node *l, *r;
    node(char value = '#', node *l = NULL, node *r = NULL):value(value), l(l), r(r){}
};
void preorder (node *root){ //求先序序列
    if(root != NULL){
        cout << root->value <<" "; //先序输出
        preorder (root ->l);
        preorder (root ->r);
    }
}
void inorder (node *root){ //求中序序列
    if(root != NULL){
        inorder (root ->l);
        cout << root->value <<" "; //中序输出
        inorder (root ->r);
    }
}
void postorder (node *root){ //求后序序列
    if(root != NULL){
        postorder (root ->l);
        postorder (root ->r);
        cout << root->value <<" "; //后序输出
    }
}
void remove_tree(node *root){ //释放空间
    if(root == NULL) return;
    remove_tree(root->l);
    remove_tree(root->r);
    delete root;
}
int main(){
    node *A, *B,*C,*D,*E,*F,*G,*H,*I;
    A = new node('A'); B = new node('B'); C = new node('C');
    D = new node('D'); E = new node('E'); F = new node('F');
    G = new node('G'); H = new node('H'); I = new node('I');
    E->l = B; E->r = G; B->l = A; B->r = D;
    G->l = F; G->r = I; D->l = C; I->l = H;
 
    cout <<"in order: "; inorder(E); cout << endl; //打印中序序列
    cout <<"pre order: "; preorder(E); cout << endl; //打印先序序列
    cout <<"post order: "; postorder(E); cout << endl; //打印后序序列
    remove_tree(E);
    return 0;
}

 

 DFS是一直深入的,适合处理节点间的先后关系、连通性等,在图论中应用很广泛。

2. DFS代码框架

DFS的代码看起来比较简单,但是逻辑上难以理解,不容易编码。

下面给出DFS的框架。

ans; //答案,用全局变量表示
void dfs(层数,其他参数){
    if (出局判断){ //到达最底层,或者满足条件退出
        更新答案; //答案一般用全局变量表示
        return; //返回到上一层
    }
    (剪枝) //在进一步DFS之前剪枝
    for (枚举下一层可能的情况) //对每一个情况继续DFS
        if (used[i] == 0) { //如果状态i没有用过,就可以进入下一层
            used[i] = 1; //标记状态i,表示已经用过,在更底层不能再使用
            dfs(层数+1,其他参数); //下一层
            used[i] = 0; //恢复状态,回溯时,不影响上一层对这个状态的使用
            }
    return; //返回到上一层
}

05、BFS和DFS的复杂度


以图为例,图中的所有n个点和所有m条边都应该至少访问一次,所以复杂度至少是O(n+m)的。很多情况下,点和边会计算多次。例如计算图上两个点之间的最短路径,一条路径包含很多点和边,一个点或一个边可能属于不同的路径,需要计算多次,复杂度就会超过O(n+m)。

在BFS和DFS基础上,发展出了剪枝、记忆化(DFS)、双向广搜(BFS)、迭代加深搜索(DFS)、A*(BFS)等技术,大大增强了搜索的能力。

DFS的代码比BFS更简单,如果一个问题用BFS和DFS都行,一般用DFS。

搜索的题目,关键往往在于去重。例如BFS的队列,把状态放进队列时,需要判断这个状态是否已经在队列中处理过,如果已经处理过,就不用放进队列,这就是去重。去重能大大优化复杂度。去重用hash很方便,缺点是很浪费空间。
 

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