100 种语言速通：第 30 集：SageMath

Q神日志 2023-06-27 22:06:25

有两种“数学”计算——数值计算和符号计算。

数值型（如 Octave、Julia、NumPy 等）采用大量数字（通常是它们的整个向量和矩阵），并进行一些数值计算。

符号式（如 Z3、SageMath）采用抽象数学表达式，并对它们进行转换。在实践中，大多数系统都有些混合，但这仍然是一个有用的区别。

SageMath 是一种相当奇怪的语言，因为它 99% 是 Python，并且在 Python 引擎上运行，但它并不完全是 Python，他们引入了一堆“预解析”更改以使其对数学更加友好。这有点像 React 的 JSX 或 Babel 与普通 JavaScript 之间的关系。

没有必要为 Hello World、FizzBuzzes 等烦恼，因为您可以在 SageMath 上运行 Python 代码，并且它们通常会正常工作，除非您碰巧遇到其中一个差异。

语法差异

您最常从 Jupyter Notebook 或类似设备运行 SageMath，但也可以从命令行运行它。

两个最明显的语法差异是/和^，但即使是普通数字也不完全相同：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># XOR in Python, ** in SageMath
</span><span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">3</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">^</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">4</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># Floats in Python, Rationals in SageMath
</span><span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># All numbers are wrapped in special classes
</span><span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">type</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">type</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>
</code></span></span>

让我们尝试运行它：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code>$ sage syntax.sage
81
2/3
<class 'sage.rings.integer.Integer'>
<class 'sage.rings.rational.Rational'>
$ python3 syntax.sage
7
0.6666666666666666
<class 'int'>
<class 'float'>
</code></span></span>

但我们甚至可以看到 Sage 将代码转换成什么（我稍微调整了间距）：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)"># This file was *autogenerated* from the file syntax.sage
</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">from</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">sage.all_cmdline</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">import</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">*</span> <span style="color:var(--syntax-comment-color)"># import sage library
</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_3</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">Integer</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_4</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">Integer</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">4</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_2</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">Integer</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># XOR in Python, ** in SageMath
</span><span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_3</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">**</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_4</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># Floats in Python, Rationals in SageMath
</span><span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_2</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># All numbers are wrapped in special classes
</span><span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">type</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_2</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">type</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_2</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">_sage_const_3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>
</code></span></span>

限制

让我们从一些高中的东西开始，比如限制：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"limit of sin(x) / x as x approaches 0"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">limit</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">sin</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">0</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"limit of sin(x) / x as x approaches infinity"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">limit</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">sin</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">oo</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"limit of (1+1/x)^x as x approaches infinity"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">limit</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">((</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">1</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">+</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">1</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">^</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">oo</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>
</code></span></span>

当我们运行它时：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code>$ ./limits.sage
limit of sin(x) / x as x approaches 0
1
limit of sin(x) / x as x approaches infinity
0
limit of (1+1/x)^x as x approaches infinity
e
</code></span></span>

在 sage 中，很多数学符号都是预先定义的。x, sin,oo都是符号性的，而不是您在普通 Python 中所期望的。

Infinity 的别名oo只是两个os，而不是 Unicode 无限字符。这可能是为了便于输入，但有点烦人的是 Python 不支持变量名中的 ∞，因为它在技术上不是一个“字母”。Raku 具有开箱即用的 ∞，而 Julia 默认情况下没有，但您可以∞ = inf在 Julia 中做到。

差异化

我们可以做一些简单的区分：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"diff of (x+2)*(x-2):"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">diff</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">((</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">+</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">*</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">-</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">),</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"diff of cos(x^3) / x^3:"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">diff</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">cos</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">^</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">^</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>
</code></span></span>

哪个输出：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code>./diff.sage
diff of (x+2)*(x-2):
2*x
diff of cos(x^3) / x^3:
-3*sin(x^3)/x - 3*cos(x^3)/x^4
</code></span></span>

积分

当然还有整合。我们还可以得到数值近似。Sage 采用二进制而不是十进制数字要求的精度。

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">f</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">1</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">/</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"Integral of f(x) = 1/x from 5 to 10:"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">.</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">integral</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">5</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">10</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"Numerical approximation to 100 binary digits:"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">.</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">integral</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">x</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">5</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">10</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">).</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">n</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">100</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">))</span>
</code></span></span>

哪个输出：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code>$ ./integral.sage
Integral of f(x) = 1/x from 5 to 10:
log(10) - log(5)
Numerical approximation to 100 binary digits:
0.69314718055994530941723212146
</code></span></span>

GF(p) 有限域

SageMath 可以很好地对实数或复数进行所有数学运算，但许多其他系统也可以。

SageMath 的独特之处在于它在离散数学方面的优势，这对于密码学或 CTF 来说非常重要。

让我们从 GF(p)（也称为 Zp 和其他一些东西）字段的最简单的示例开始 - 基本上是整数模 p，因此当您对它们进行加、减或乘时，它们会环绕：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">p</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">65537</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">F</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">GF</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">p</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"Some addition in GF(65537):"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">for</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">i</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">in</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">range</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">10</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">):</span>
  <span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">F</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">.</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">random_element</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">()</span>
  <span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">F</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">.</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">random_element</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">()</span>
  <span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)"> + </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)"> = </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">+</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"Some inverses in GF(65537):"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">for</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">i</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">in</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">range</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">10</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">):</span>
  <span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">F</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">.</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">random_element</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">()</span>
  <span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">^-</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">1</span>
  <span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)"> * </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)"> = </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">*</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
</code></span></span>

其中随机输出：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code>./zp.sage
Some addition in GF(65537):
5993 + 52077 = 58070
34573 + 35447 = 4483
64465 + 9539 = 8467
23830 + 64214 = 22507
33632 + 5984 = 39616
32744 + 55138 = 22345
7174 + 12223 = 19397
12815 + 49721 = 62536
21107 + 51922 = 7492
32436 + 21708 = 54144
Some inverses in GF(65537):
4454 * 21880 = 1
8250 * 31990 = 1
2139 * 17403 = 1
34523 * 59411 = 1
44260 * 56663 = 1
3474 * 34655 = 1
53770 * 11490 = 1
12588 * 61575 = 1
34995 * 24902 = 1
2534 * 14354 = 1
</code></span></span>

GF(p) 加法和乘法是几乎所有编程语言都可以处理的领域，因为这只是对 p 进行模运算。

像 GF(p) 除法、逆运算等等——通常不是现成的。

椭圆曲线

SageMath 可以处理比 GF(p) 域复杂得多的数学结构。其中一种值得注意的结构是椭圆曲线，它是现代密码学的基本构建块之一。

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">F</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">GF</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">101</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">EC</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">EllipticCurve</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">F</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">[</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">3</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">])</span>

<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">for</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">i</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">in</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">range</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">10</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">):</span>
  <span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">EC</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">.</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">random_element</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">()</span>
  <span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">EC</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">.</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">random_element</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">()</span>
  <span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)"> + </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)"> = </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">+</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">b</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
</code></span></span>

哪个输出：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code>./ecc.sage
(84 : 56 : 1) + (41 : 15 : 1) = (40 : 94 : 1)
(41 : 15 : 1) + (50 : 41 : 1) = (57 : 51 : 1)
(0 : 1 : 0) + (90 : 93 : 1) = (90 : 93 : 1)
(27 : 67 : 1) + (56 : 30 : 1) = (35 : 86 : 1)
(50 : 41 : 1) + (11 : 89 : 1) = (20 : 93 : 1)
(30 : 55 : 1) + (30 : 55 : 1) = (35 : 15 : 1)
(9 : 12 : 1) + (92 : 93 : 1) = (96 : 26 : 1)
(49 : 40 : 1) + (40 : 94 : 1) = (48 : 55 : 1)
(81 : 89 : 1) + (35 : 15 : 1) = (21 : 69 : 1)
(99 : 71 : 1) + (0 : 1 : 0) = (99 : 71 : 1)
</code></span></span>

破坏 Diffie-Hellman 密钥交换

我主要使用 SageMath 进行 CTF，这个示例改编自此类挑战之一，但数字有所改变。

这是一个两步攻击，但第一部分发生在挑战的背景故事中。

第一步是我们破解了 Alice 和 Bob 之间的参数协商，让他们认为对方只支持使用 90 年代的“导出级”加密和非常短的密钥，这种加密足以抵御随意的攻击者，但实际上并非如此反对国家安全局等。感谢 SageMath，我们可以做到 NSA 在 90 年代可以做到的事情，并破解此类相对较短的密钥。

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code><span style="color:var(--syntax-comment-color)">#!/usr/bin/env sage
</span>
<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># "Export Grade" Diffie-Hellman Key Exchange
</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">K</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">GF</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">57702167561280060733</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">g</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">K</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">2</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># We don't know these numbers, CTF server does
</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">secret_a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">21994334292003664313</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">secret_b</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-literal-color)">5307079022839176516</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># What we get from the challenge is these:
# Alice sent to Bob: g^a
# Bob sent to Alice: g^a
</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">ga</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">K</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">20214349094702392183</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">gb</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">K</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-literal-color)">36652172046887073403</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># This is fast only because SageMath knows all the fancy algorithms
# It would be completely non-viable to brute force
# and extremely tedious and slow to code yourself:
</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">discrete_log</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">ga</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">,</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">g</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-text-color)">gab</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">=</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">gb</span> <span style="color:var(--syntax-error-color)">^</span> <span style="color:var(--syntax-text-color)">a</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"We hacked the key: </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">gab</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>

<span style="color:var(--syntax-comment-color)"># CTF server can verify our solution:
</span><span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"Alice shared key: </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">gb</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">^</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">secret_a</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
<span style="color:var(--syntax-declaration-color)">print</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">(</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">f</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"Bob shared key: </span><span style="color:var(--syntax-string-color)">{</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">ga</span><span style="color:var(--syntax-error-color)">^</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">secret_b</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">}</span><span style="color:var(--syntax-string-color)">"</span><span style="color:var(--syntax-text-color)">)</span>
</code></span></span>

哪个输出：

<span style="color:var(--syntax-text-color)"><span style="color:var(--syntax-text-color)"><code>$ ./mitm.sage
We hacked the key: 44661687795688390997
Alice shared key: 44661687795688390997
Bob shared key: 44661687795688390997
</code></span></span>