经典烧脑算法逻辑题--高楼扔鸡蛋：最少次数测出鸡蛋摔碎临界点

[借雨醉东风]

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有2个鸡蛋，从100层楼上往下扔，以此来测试鸡蛋的硬度。比如鸡蛋在第9层没有摔碎，在第10层摔碎了，那么鸡蛋不会摔碎的临界点就是9层。

问：如何用最少的尝试次数，测试出鸡蛋不会摔碎的临界点？

-------------------------------------答案----------------------------------------

分析：

1.暴力法，最笨的测试方法。
把其中一个鸡蛋，从第1层开始往下扔。如果在第1层没碎，换到第2层扔；如果在第2层没碎，换到第3层扔.......如果第59层没碎，换到第60层扔；如果第60层碎了，说明不会摔碎的临界点是第59层。
在最坏情况下，这个方法需要扔100次。并且只需1个鸡蛋。

2.改良二分法。
采用类似于二分查找的方法，把鸡蛋从一半楼层（50层）往下扔。
如果第一枚鸡蛋，在50层碎了，第二枚鸡蛋，就从第1层开始扔，一层一层增长，一直扔到第49层。此时，是这种方法的最坏情况。最差仍需50次。
如果第一枚鸡蛋在50层没碎了，则继续使用二分法，在剩余楼层的一半（75层）往下扔第一枚鸡蛋，假如碎了，从第二枚鸡蛋从50-74层扔即可。

3.均匀法
如何让第一枚鸡蛋和第二枚鸡蛋的尝试次数，尽可能均衡呢？
很简单，做一个平方根运算，100的平方根是10。
因此，我们尝试每10层扔一次，第一次从10层扔，第二次从20层扔，第三次从30层......一直扔到100层。
这样的最好情况是第一枚在第10层碎掉，然后第二枚从1-9层尝试，共1+9=10次。
最坏的情况是在第一枚在90层碎掉，尝试次数为 9+9=18次。
有人问，最坏的情况为啥不是第100层？因为当第一枚在第90层还不碎的时候，90-100层时，还有2枚鸡蛋，此时可以用改良二分法。此时最坏只需9+5=14次。

4.改良均匀法
通过上面均匀法，我们知道最坏情况发生在第一枚鸡蛋试到第8次。
第一枚每多试一次，对应的最坏情况就多1次。我们如果能提升第一次的最坏情况，降低第8次的最坏情况，让第一枚无论何时碎，最坏情况都不增加就好了。
分析发现：如果下一次的间隔比第一次少1层，最坏情况就相等。比如：第一次10层，最坏情况是10次；第二次在19层（并且在这碎了），最坏情况就是2+8=10次。
因此，提升第一次的层数，并且降底后面每一次一层，应该大概率是OK的。而第一次是多少合适。经过分析发现，上面均衡法最优是10，最差是18，为了互相抵消每一次层升高带来的那1次最坏情况。把第1次的10和最后一次的18互相抵消到中位数14层。最坏情况就不会超过14。

即第1次14层，碎了，则第2枚1-13层依次试，最坏情况是14次；
如果没碎，第2次14+13=27层，最坏情况是2+12=14次。
第3次27+12=39层，最坏情况还是14次。
第4次39+11=50层；
第5次50+10=60；
第6次60+9=69；
第7次69+8=77；
第8次77+7=84；
第9次84+6=90；
第10次90+5=95；最坏情况依然是10+4=14次。
第11次95+4=99；最坏情况是11+1=12次。

如此，我们得到比上面均匀法更优的解，最差14次就能测出来。其实这个已经是答案了。因为我们用方程法去解，也是求得相同的答案。

5.方程法
我们假设第一次是在x层，根据上面分析，知道如果在x层就碎了，则最坏情况是x次[1+（x-1)]，第一枚鸡蛋+第二枚从1层到x-1都要试。
根据上面分析，第二次是在x+(x-1)层试，如果碎了，最坏情况则依然是x次。
则最后一次是x+(x-1)+(x-2)+……1，最后一次刚好是第100层时，此时最优。则x+(x-1)+(x-2)+……1=100，即：(x+1)*x/2=100

最终x向上取整，得到x=14。和上面的结果一样。

第一枚鸡蛋的尝试楼层仍然是：

14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100

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