一阶RC充放电数学推导：让复杂变简单

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目录：

1、通过微积分运算

2、通过微分方程

3、电压公式推导

1）通过电流公式推导   2）通过微积分运算

4、Multisim仿真

5、时间常数在线计算

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下续：RC电路计算(含微分积分电路)

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1、通过微积分运算

不想看公式的推导过程，可以跳转到“4、Multisim仿真”。 

图1.1 一阶RC电路

图1.2 一阶RC充放电波形

令 Vs为电源电压，Vc电容两端电压，Vr电阻两端电压；流过串联电路的电流定义为 i。

根据基尔霍夫电压定律(KVL)，回路中的电压降之和为零。因此有：

根据得：，即

∵ 电流即电荷对时间微分

∴ ，即

两边分别积分得：

设，得

∵ 

∴ ，已知：

经过变换可得：

 ∵ 电流即电荷对时间微分​

再根据积与复合函数的求导法则可知：

∴ 

整理可得

2、通过微分方程

根据基尔霍夫电压定律(KVL)，回路中的电压降之和为零。因此有：

由于电阻上的电压降与电流成正比，即：

代入上式得：

将电容的电压电流关系式代入上式，得：

为了解这个微分方程，我们可以将其改写为：

进一步整理为：

这是一个一阶线性微分方程，其解为：

其中，V0​是电容的初始电压(在t = 0时的电压)。

将电容电压的表达式代入电容的电压电流关系式，得：

计算导数后，得：

如果初始时电容未充电(即V0 ​= 0)，则上式简化为：

3、电压公式推导

1）通过电流公式推导

由公式得到：

根据基尔霍夫电压定律(KVL)：，可以推导出

∴ 

做一下变形可得：。

2）通过微积分运算

流过电容的电流：

电阻两端电压：，变形可得：

两边分别积分得：

下面部分推导参照“1、通过串联电路”的有关式子，最终可得

当t = RC时，e^(-1) = 36.8%，1-e^(-t/RC) = 63.2% = 63.2%Vs；

当t = 3RC时，e^(-3) = 5%，1-e^(-t/RC) = 95% = 95%Vs。

4、Multisim仿真

图4.1 一阶RC的Multisim仿真

通常以时间常数 τ = RC度量电容充电时间，如图4.1所示。

光标1：x1 = 1mS即1τ时，电容C上的充电电压y1 = 3.1672V，达到3.1672Ｖ/5V = 63.2%；

光标2：x2 = 3mS即3τ时，电容C上的充电电压y1 = 4.7515V，达到4.7515V/5V = 95%。

t = 1τ	电压达到63.2%
t = 2.3τ	电压达到90%
t = 3τ	电压达到95%
t = 5τ	电压达到99%

5、时间常数在线计算

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