矩阵的秩的结论|“朝闻道”知识分享大赛

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这是我参加朝闻道知识分享大赛的第一篇文章

秩的定义：非零矩阵A中，不等于0的最高阶子式称为A的秩子式。秩子式的阶数称为A的秩，记作r(A)、R(A)、rank(A)等

 

以下是我根据课本和网课总结的矩阵的秩的结论

1. r(A)=r(r>0)  ⇔  矩阵 A 中至少有一个 r 阶子式≠0。而所有的 r+1 阶子式全等于0.（或根本没有r+1阶子式）

2. r(A) >= r  ⇔  矩阵 A 中至少有一个r阶子式≠0

3. r(A) < r  ⇔  矩阵中所有r阶子式全等于0（r阶以上子式全为0）

4. r(A) = r(A的转置)    r(A) = r(-A)    r(kA) = r(A) (k≠0)

5. r(A) = 0  ⇔  A=0    r(A) >= 1  ⇔  A ≠ 0

6. 若 A ≠ 0，则 A 的任意两行（列）元素对应成比例  ⇔  r(A) = 1

7. 若 A 为行阶梯矩阵，则r(A) = A中非零行的行数

8. 初等变换不改变矩阵的秩。即若 A 等价 B，则r(A) = r(B)    （等价定义：A经变换得到B）

9. 若 A B 为同型矩阵，则 A 等价 B，则r(A) = r(B)

10. 若 A B 为同型 m*n 矩阵，则r(A+-B) <= r(A)+r(B)

11. 若 A 为 m*n 矩阵，B 为 n*s 矩阵，且 AB=0（0矩阵），则 r(A)+r(B) <= n

12. 若 A 为 m*n 矩阵，B 为 n*s 矩阵，则 r(A)+r(B)-n <=  r(AB) <= min(r(A),r(B))

13. r(A的转置*A) = r(A*A的转置) = r(A) = r(A的转置)

14. 若 P Q 均可逆，则 r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)

15. 若 A 为n阶方阵（n>=2），A* 为 A 的伴随矩阵，则 r(A*) ={ n, r(A) = n ;

                                                                                                    1, r(A) = n-1 ;  

                                                                                                    0, r(A) < n-1 }

 

以上就是我总结的矩阵的秩的结论，希望会对你的学习有所帮助。