内生滞后变量模型|“朝闻道”知识分享大赛

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这是我参加朝闻道知识分享大赛的第105篇文章。

内生滞后变量模型，亦称“自回归模型”，是解释变量含有内生滞后变量的分布滞后模型。在经济活动中，由于经济活动的惯性，被解释变量的当期变化往往和自身过去取值相关，同时，解释变量对被解释变量的影响也并不仅会在当期表现出来，而且会延后若干期，即解释变量对被解释变量的作用会延续一段时间，这种被解释变量受到自身或另一解释变量的前几期值影响的现象称为滞后效应，表示前几期值的变量称为滞后变量，含有滞后变量的模型即称为滞后变量模型。

一、模型概述

如果以滞后变量作为解释变量，就得到滞后变量模型。它的一般形式为：

Yt=β0+β1Yt-1+β2Yt-2+...+βqYt-q+α0Xt+α1Xt-1+...+αsXt-s+μt

其中，q、s表示滞后时间间隔，t表示时间，q、s、t=1，2，3，...，n，n为样本容量；Xt是外生变量，即模型外部对因变量Yt有影响的变量；Yt是内生变量，即模型内部要决定的变量；μt为随机误差项。

根据滞后期长度是否有限，滞后变量模型可分为有限滞后变量模型和无限滞后变量模型两种。如果滞后期长度有限，则称为有限滞后变量模型；如果滞后期无限，则称为无限滞后变量模型。

而根据模型中是否包含滞后被解释变量，滞后变量模型又可分为自回归模型和分布滞后模型。自回归模型中的解释变量仅包含X的当期值与被解释变量Y的一个或多个滞后值。分布滞后模型中则没有滞后被解释变量，仅有解释变量X的当期值及其若干期的滞后值。

二、模型分类

1. 分布滞后模型（distributed-lag model）分布滞后模型描述的是，模型中没有滞后被解释变量，仅解释变量X的当期值及其若干期的滞后值对被解释变量Y存在影响。模型形式为：Yt=α+∑(i=0到s)βiXt-i+μt其中，β0为短期（short-run）或即期乘数（impact multiplier），表示本期X变化一单位对Y平均值的影响程度；βi（i=1，2，…，s）为动态乘数或延迟系数，表示各滞后期X的变动对Y平均值影响的大小；∑(i=0到s)βi称为长期（long-run）或均衡乘数（total distributed-lag multiplier），表示X变动一个单位，由于滞后效应而形成的对Y平均值总影响的大小。

2. 自回归模型（autoregressive model）自回归模型描述的是，模型中的解释变量包含X的当期值与被解释变量Y的一个或多个滞后值。模型形式为：Yt=α0+α1Xt+α2Yt-1+μt其中，该式称为一阶自回归模型（first-order autoregressive model）。如果模型中的解释变量包含被解释变量Y的两个或多个滞后值，则称为高阶自回归模型。特别地，自回归分布滞后模型（autoregressive distributed lag model，ADL）既含有Y对自身滞后变量的回归，还包括X分布在不同时期的滞后变量。即：Yt=α+α1Yt-1+…+αqYt-q+β0Xt+β1Xt-1+…+βsXt-s+et（t=1，…，n）

三、模型估计

内生滞后变量模型不能直接应用最小二乘法（OLS），因为被解释变量Yt的滞后值Yt-1，…，Yt-q与随机误差项et可能序列相关，最小二乘估计将是有偏的。这种模型常用的估计方法有工具变量法、广义最小二乘法等。但因问题较复杂，特别当et存在序列相关时，尚未找到完全有效的估计方法。

在处理有限分布滞后模型时，由于各时期的滞后变量往往存在多重共线性，且当滞后期数s较大而样本较小时，利用已知较小的样本对较多的参数进行估计会产生困难，同时由于没有足够的自由度，也就无法进行传统的显著性检验。因此，有限分布滞后模型的基本思想是设法有目的地减少需要直接估计的模型参数个数，以缓解多重共线性，保证自由度。这通常可以通过对滞后变量系数施加约束条件，使其按某种规则（如经验权数法、阿尔蒙多项式法等）线性组合成新的变量，然后再对新变量应用最小二乘法进行估计。

对于无线分布滞后模型，主要是通过适当的模型变换，如柯依克变换等，使其转化为只需估计有限个参数的自回归模型，然后再进行参数估计。

四、模型应用

内生滞后变量模型在经济、金融、社会科学等领域具有广泛的应用。例如，在经济学中，可以利用该模型分析经济增长、通货膨胀、失业率等经济变量的动态变化；在金融学中，可以利用该模型分析股票价格、汇率等金融变量的波动性和预测性；在社会科学中，可以利用该模型分析人口增长、教育水平、犯罪率等社会变量的变化趋势和影响因素。

然而，需要注意的是，由于内生滞后变量模型存在多重共线性、自由度不足、滞后长度难以确定等问题，因此在实际应用中需要谨慎选择模型形式和估计方法，并结合具体问题的背景和数据特点进行合理解释和预测。

内生滞后变量模型是一种重要的经济计量模型，它描述了经济活动中变量之间的滞后效应和动态关系。通过合理构建模型和选择估计方法，我们可以深入了解经济变量的动态变化规律，为政策制定和决策提供科学依据。