AB=0,那么|A|=0或|B|=0?(线数基础问题)

[TroubleShotting]

A和B是两个方阵
已知AB=0
是不时要么|A|=0要么|B|=0呢?
这是怎么证出来的呀

多谢

[gambolgs]

baryjim(吃饭－睡觉－打豆豆) :
It's TeX.
Another invention of Donald Knuth, the writer of "The Art of Computer Programming"

[lmzh171]

baryjim(吃饭－睡觉－打豆豆)

RIGHT

[mathe]

TeX是一个比较流行的排版软件，用它写数学公式比较方便。不过我不熟悉。你们可以通过google查一下LaTeX看看。
$|A|\times|B|$
=$|AB|$
=$|0|$
=0
是gambolgs(Gambol) 给的呀，
前两行就是说方阵A的行列式和方阵B的行列式的乘积就是方阵A,B乘积的行列式。
而AB=O,而方阵O的行列式是0，
这样我们就得到|A|*|B|=0了，所以数字|A|和|B|中至少有一个是0。
实际上只要AB是不可逆方阵，那么A和B中必然至少有一个 不可逆，也就是|A|和|B|中至少有一个为0.

[baryjim]

哦，如果不好表示，可以自己先建立一个word文档，写出来，然后粘贴在这里，word文档里面符号够丰富的了！

[gambolgs]

baryjim(吃饭－睡觉－打豆豆) :
D.K大叔写了TAOCP Volume1，觉得排版太难看了有辱自己的书，就专门花时间发明了TeX，来为它排版。

[尹立]

看看下面一个证明：
|AB|=|A|*|B|
|AB|=0
所以|A|*|B|=0
所以|A|=0或者|B|=0

[baryjim]

gambolgs(Gambol):
I know Donald Knuth.I know he has written "The Art of Computer Programming"!
But I do not know "TeX"啊，请指教！！^_^

请mathe解释一下这个语句
$|A|\times|B|$
=$|AB|$
=$|0|$
=0

学习！！

[潘李亮]

AB是什么符号啊?
乘法还是dot product还是cross product啊?
如果是矩阵的话.好象是的。
如果是向量的dot product的话,那是错的。

[TroubleShotting]

To 楼上的:
多谢!
我是说AB=0呀,不是|AB|=0

To All:
多谢大家啦!

[mathe]

这是因为|O|=0

[peijunfeng]

证明：
∵AB=O

∴AB的模为零，即|AB|=0

又∵|AB|=|A|*|B|

∴
|A|*|B|=0
∴
|A|=0或者|B|=0

[潘李亮]

又∵|AB|=|A|*|B| 谁告诉你的。
两个向量 |AB|= |A|*|B|* sin(<AB) (叉积)
|AB|= |A|*|B|* cos(<AB) (点积)

好好去看看线性代数先吧。。。晕

[zhenming_liu]

AB|=|A|*|B|

A和B是两个方阵

-______-"

[gambolgs]

Nhsoft(我不是高手)
你好像错了

[bacmoz]

有人晕了
不知道两个方阵之间的夹角是怎么求的？

[潘李亮]

好象没有人说AB是个Matrix吧？

如果是vector。那么我说的就没错。

[潘李亮]

不好意思。只顾看楼上的。没顾看楼主。：（

[rickone]

后一种证明更加简洁。
证1：
因为AB=0 //A、B为方阵，行列相等的矩阵，它们的乘运算结果为0，0不是数0，也是个方阵相同维数的
假设|A|=0 //|A|表示A的行列式，有的记作detA
这就是结论要证的，成立！不用再说明了。
假设|A|<>0
则A为可逆方阵，设A^(-1)A=E
所以等式两边分别左乘A^(-1)，得
B=0
所以|B|=0
证2：
因为AB=0
所以|AB|=0
所以|A||B|=0
所以|A|=0或者|B|=0

|A|=0并不等于A=0，反过来是正确的。

[TroubleShotting]

明白了!
多谢楼上的各位!
考完试就揭帖

[subsubzero]

证2：
因为AB=0
所以|AB|=0
所以|A||B|=0
所以|A|=0或者|B|=0

补充一句，“前提是A,B是方阵”
不是方阵的话AB=0不能推出|A|=0或者|B|=0,因为不是方阵就没有模。
例子：
| 1 |
| |*|0 1|=0
| 0 |