初中代数题求解

[huangxinru]

若sqrt(x^2+18)-sqrt(2x^2+2)=1,求3*sqrt(x^2+18)+4*sqrt(2x^2+2)的值。

[dengsf]

a = sqrt(x^2+18)
b = sqrt(2x^2+2)

2a^2 - b^2 = 34
a - b = 1

a + b = 34 - a^2
a - b = 1
....

[zengwujun]

解：
设a=sqrt(x^2+18),b=sqrt(2x^2+2)
则有 a-b=1-----------(1)
并且2a^2-b^2=2(x^2+18)-(2x^2+2)=34----(2)
由(1)知道a=b+1,代入(2)得到
2(b+1)^2-b^2=34
==>b^2+4b-32=0;
==>b=4(b=-8负根已经舍去）

由，a=b+1得到a=5;
所以3sqrt(x^2+18)+4sqrt(2x^2+2)
=3a+4b
=31

[寻开心]

有两组解x2 = 7, 和x2=31

[huangxinru]

请教一下答案7如何得到？

[寻开心]

最简单的办法就是，老老实实的算

sqrt(x^2+18)-sqrt(2x^2+2)=1
sqrt(x^2+18) = sqrt(2x^2+2)+1
x^2+18 = 2x^2+3 + 2 sqrt(2x^2+2)
-x^2 + 15 = 2 sqrt(2x^2+2)
x^4 - 38 x^2 + 217 = 0
x^2 = 7 和 31

[gxqcn]

由于上述解答过程中用了平方，使解不等价，应进行验算！

x^2=31 时，sqrt(x^2+18)-sqrt(2x^2+2)=-1，应舍去。

zengwujun(月之海) 的换元法比较好。

[zengwujun]

哈，终于有人帮我了，老大的那个7明显应该舍去的

[寻开心]

true
配方法好是好，没有通用性，累！能想出来的人比较聪明.

作为初中生来说，直接算也是可行的