[原创]自己推导计算星期的通用公式

tuxw 2005-04-25 11:26:48
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计算给定日期星期几好象是编程都会遇到的问题,最近论坛里也有人提到这个问题,并给出了一个公式:
W= (d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400) mod 7
(要求将1、2月当作上一年的13、14月来计算)

去看了看这个公式的原帖 http://blog.csdn.net/ycrao/archive/2000/11/24/3825.aspx
其讲述的过程并不清楚,便想怎样自己推导出一个公式来,花了几个小时,总算是弄出来了,结果跟上面的公式一样:)
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下面我们完全按自己的思路由简单到复杂一步步进行推导……

推导之前,先作两项规定:
①用 y, m, d, w 分别表示 年 月 日 星期(w=0-6 代表星期日-星期六
②我们从 公元0年1月1日星期日 开始


一、只考虑最开始的 7 天,即 d = 1---7 变换到 w = 0---6
很直观的得到:
w = d-1

二、扩展到整个1月份
模7的概念大家都知道了,也没什么好多说的。不过也可以从我们平常用的日历中看出来,在周历里边每列都是一个按7增长的等差数列,如1、8、15、22的星期都是相同的。所以得到整个1月的公式如下:
w = (d-1) % 7 --------- 公式⑴

三、按年扩展
由于按月扩展比较麻烦,所以将年扩展放在前面说

① 我们不考虑闰年,假设每一年都是 365 天。由于365是7的52倍多1天,所以每一年的第一天和最后一天星期是相同的。
也就是说下一年的第一天与上一年的第一天星期滞后一天。这是个重要的结论,每过一年,公式⑴会有一天的误差,由于我们是从0年开始的,所以只须要简单的加上年就可以修正扩展年引起的误差,得到公式如下:
w = (d-1 + y) % 7

② 将闰年考虑进去
每个闰年会多出一天,会使后面的年份产生一天的误差。如我们要计算2005年1月1日星期几,就要考虑前面的已经过的2004年中有多少个闰年,将这个误差加上就可以正确的计算了。
根据闰年的定义(能被4整但不能被100整除或能被400整),得到计算闰年的个数的算式:y/4 - y/100 + y/400。
由于我们要计算的是当前要计算的年之前的闰年数,所以要将年减1,得到了如下的公式:
w = [d-1+y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 -----公式⑵

现在,我们得到了按年扩展的公式⑵,用这个公式可以计算任一年的1月份的星期

四、扩展到其它月
考虑这个问题颇费了一翻脑筋,后来还是按前面的方法大胆假才找到突破口。

①现在我们假设每个月都是28天,且不考虑闰年
有了这个假设,计算星期就太简单了,因为28正好是7的整数倍,每个月的星期都是一样的,公式⑵对任一个月都适用 :)

②但假设终究是假设,首先1月就不是28天,这将会造成2月份的计算误差。1月份比28天要多出3天,就是说公式⑵的基础上,2月份的星期应该推后3天。
而对3月份来说,推后也是3天(2月正好28天,对3月的计算没有影响)。
依此类推,每个月的计算要将前面几个月的累计误差加上。
要注意的是误差只影响后面月的计算,因为12月已是最后一个月,所以不用考虑12月的误差天数,同理,1月份的误差天数是0,因为前面没有月份影响它。

由此,想到建立一个误差表来修正每个月的计算。
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月 误差 累计 模7
1 3 0 0
2 0 3 3
3 3 3 3
4 2 6 6
5 3 8 1
6 2 11 4
7 3 13 6
8 3 16 2
9 2 19 5
10 3 21 0
11 2 24 3
12 - 26 5
(闰年时2月会有一天的误差,但我们现在不考虑)
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我们将最后的误差表用一个数组存放
在公式⑵的基础上可以得到扩展到其它月的公式

e[] = {0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5}
w = [d-1+y + e[m-1] + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 --公式⑶

③上面的误差表我们没有考虑闰年,如果是闰年,2月会一天的误差,会对后面的3-12月的计算产生影响,对此,我们暂时在编程时来修正这种情况,增加的限定条件是如果当年是闰年,且计算的月在2月以后,需要加上一天的误差。大概代码是这样的:

w = (d-1 + y + e[m-1] + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400);
if(m>2 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
++w;
w %= 7;

现在,已经可以正确的计算任一天的星期了。
注意:0年不是闰年,虽然现在大都不用这个条件,但我们因从公元0年开始计算,所以这个条件是不能少的。

④ 改进
公式⑶中,计算闰年数的子项 (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400 没有包含当年,如果将当年包含进去,则实现了如果当年是闰年,w 自动加1。
由此带来的影响是如果当年是闰年,1,2月份的计算会多一天误差,我们同样在编程时修正。则代码如下

w = (d-1 + y + e[m-1] + y/4 - y/100 + y/400); ---- 公式⑷
if(m<3 && (y%4==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0)
--w;
w %= 7;

与前一段代码相比,我们简化了 w 的计算部分。
实际上还可以进一步将常数 -1 合并到误差表中,但我们暂时先不这样做。

至此,我们得到了一个阶段性的算法,可以计算任一天的星期了。

public class Week {
public static void main(String[] args){
int y = 2005;
int m = 4;
int d = 25;

int e[] = new int[]{0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5};
int w = (d-1+e[m-1]+y+(y>>2)-y/100+y/400);
if(m<3 && ((y&3)==0 && y%100!=0 || y%400==0) && y!=0){
--w;
}
w %= 7;

System.out.println(w);
}
}
...全文
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tuxw 2005-04-27
另外一些想法:

对于式子
w = [d-1+y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 -----公式⑵
可以计算任一年的1月份的星期

如果我们令 d=1,可得到
w = [y + (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7 ---- 公式⑺
这就是计算任一年的元旦星期几的公式了,这是个真正的公式,中间没有任何转换的疑点。

在这个基础上我们可以从另一种思路去计算其它日期是星期几:求出要计算的日期是该年的中的第几天,减去1,加上元旦的星期,再模7即可

对某日是一年中的第几天的求法可以用 日 + 前面几个月的总天数
由于可以去掉一个月中能被7整除的天数,所以对2月来说,加上1月份的31天与加3天是一样的,所以最后算出每个月之前的总天数与我们的前面的误差表是一样。

如2月d号星期几可以这样:
[(d + 3) - 1 + w] % 7 = [(d-1) + 3 + w] % 7
这个式子已经跟 公式⑷ 一样了(子项 3 等同于公式⑷中的 e[m-1])

至此,我们用另一种思路得到了相同的结果
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fxyyai 2005-04-26
你真厉害!!!!!!!!
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WinFastNcr 2005-04-26
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tuxw 2005-04-26
确实早就有了计算星期的公式了
且我推出的公式与已有的公式也是一样的,之所以写下来,主要是想说明一种考虑问题的方法和思路,也由此弄清楚已有公式的来龙去脉。我想这个公式有很多人用过了,但有多少人去想一想为什么了?
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MARS.nEIL 2005-04-26
有我读高中的时候,就已经有一个根据日期算星期几的公式了.
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lintao82 2005-04-26
mark
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shan1119 2005-04-26
好东东
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craigavon 2005-04-26
好东西当然要收藏
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OnlyFor_love 2005-04-26
不错!有思路!
收藏一下!
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sylmoon 2005-04-26
有个泰乐公式
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ariel_521 2005-04-26
.............+u!!!
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alpha15 2005-04-26
不错
收藏.......
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haoshuping 2005-04-26
qiang
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dj0517 2005-04-26
楼主做的好啊,顶!!!
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cyicecream 2005-04-26
不错,收藏
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mnbvc874 2005-04-25
不错,收藏
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tuxw 2005-04-25
五、简化
现在我们推导出了自己的计算星期的算法了,但还不能称之为公式。
所谓公式,应该给定年月日后可以手工算出星期几的,但我们现在的算法需要记住一个误差表才能进行计算,所以只能称为一种算法,还不是公式。
下面,我们试图消掉这个误差表……

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消除闰年判断的条件表达式
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由于闰年在2月份产生的误差,影响的是后面的月份计算。如果2月是排在一年的最后的话,它就不能对其它月份的计算产生影响了。可能已经有人联想到了文章开头的公式中为什么1,2月转换为上年的13,14月计算了吧 :)

就是这个思想了,我们也将1,2月当作上一年的13,14月来看待。
由此会产生两个问题需要解决:
1>一年的第一天是3月1日了,我们要对 w 的计算公式重新推导
2>误差表也发生了变化,需要得新计算

①推导 w 计算式
1> 用前面的算法算出 0年3月1日是星期3
前7天, d = 1---7 ===> w = 3----2
得到 w = (d+2) % 7
此式同样适用于整个三月份
2> 扩展到每一年的三月份
[d + 2 + y + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400] % 7

②误差表
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月 误差 累计 模7
3 3 0 0
4 2 3 3
5 3 5 5
6 2 8 1
7 3 10 3
8 3 13 6
9 2 16 2
10 3 18 4
11 2 21 0
12 3 23 2
13 3 26 5
14 - 29 1
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③得到扩展到其它月的公式
e[] = {0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1}
w = [d+2 + e[m-3] +y+(y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400] % 7
(3 <= m <= 14)

我们还是将 y-1 的式子进行简化
w = [d+2 + e[m-3] +y+y/4-y/100+y/400] % 7
(3 <= m <= 14)

这个式子如果当年是闰年,会告成多1的误差
但我们将1,2月变换到上一年的13,14月,年份要减1,所以这个误差会自动消除,所以得到下面的算法:

int e[] = new int[]{0,3,5,1,3,6,2,4,0,2,5,1};
if(m < 3) {
m += 12;
--y;
}
int w = (d+2 + e[m-3] +y+(y/4)-y/100+y/400) % 7; -----公式⑸

我们可以看到公式⑸与公式⑷几乎是一样的,仅仅是误差天和一个常数的差别
常数的区别是由起始日期的星期不同引起的,0年1月1日星期日,0年3日1日星期三,有三天的差别,所以常数也从 -1 变成了 2。

现在,我们成功的消除了繁琐的闰年条件判断。


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消除误差表
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假如存在一种m到e的函数映射关系,使得
e[m-3] = f(m)
则我们就可以用 f(m) 取代公式⑸中的子项 e[m-3],也就消除了误差表。

由于误差表只有12个项,且每一项都可以加减 7n 进行调整,这个函数关系是可以拼凑出来的。但是这个过程可能是极其枯燥无味的,我现在不想自己去推导它,我要利用前人的成果。所谓前人栽树,后人乘凉嘛 :)

文章开头开出的公式中的 2*m+3*(m+1)/5 这个子项引起了我的兴趣

经过多次试试验,我运行下面的代码

for(m=1; m<=14; ++m)
System.out.print((-1+2*m+3*(m+1)/5)%7 + " ");
System.out.println();

天哪,输出结果与我的误差表不谋而合,成功了,哈哈

2 4 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 5 1
Press any key to continue...

上面就是输出结果,看它后面的12项,与我的误差表完全吻合!!!

现在就简单的,将 f(m) = -1 + 2*m + 3*(m+1)/5 代入公式⑸,得到

w = (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y/4)-y/100+y/400) % 7 ----公式6
约束条件: m=1,m=2 时 m=m+12,y=y-1;

现在,我们得到了通用的计算星期的公式,并且“完全”是按自己的思想推导出来的(那个函数映射关系不算),只要理解了这个推导的步骤,即使有一天忘记了这个公式,也可以重新推导出来!

可能有人会注意到公式⑹与文章开头的公式相差一个常数 1,这是因为原公式使用数字0--6表示星期一到星期日,而我用0--6表示星期日到星期六。实际上是一样,你可以改成任意你喜欢的表示方法,只需改变这个常数就可以了。


六、验证公式的正确性。

一个月中的日期是连续的,只要有一天对的,模7的关系就不会错,所以一个月中只须验证一天就可以了,一天需要验12天。由于扩展到年和月只跟是否闰年有关系,就是说至少要验证一个平年和一个闰年,也就是最少得验证24次。
我选择了 2005 年和 2008 年,验证每个月的1号。
测试代码如下:

class test {
public int GetWeek(int y, int m, int d) {
if(m<3) {
m += 12;
--y;
}
int w = (d+1+2*m+3*(m+1)/5+y+(y>>2)-y/100+y/400) % 7;
return w;
}
}

public class Week {
public static void main(String[] args){
int y = 2005;
int m = 1;
int d = 1;

test t = new test();
String week[] = new String[]{
"星期日","星期一","星期二","星期三","星期四","星期五","星期六"
};

for(y=2005; y<=2008; y+=3) {
for(m=1; m<=12; ++m) {
String str = y + "-" + m + "-" + d + "\t" + week[t.GetWeek(y,m,d)];
System.out.println(str);
}
}
}
}
查万年历,检查程序的输出,完全正确。

七、后话

我们这个公式的推导是以0年3月1日为基础的,对该日以后的日期都是可以计算的。但是否可以扩展到公元前(1,2已属于公元前1年的13,14月了)呢?

虽然我对0年1月和2月、以及公元前1年(令y=-1)的12月作了验证是正确的,但我在推导这个公式时并未想到将其扩展到公元前,所以上面的推导过程没有足够理论依据可以证明其适用于公元前。(负数的取模在不同的编译器如C++中好象处理并不完全正确)。

另外一有点是对于0年是否存在的争议,一种折中的说法是0年存在,但什么也没有发生,其持续时间为0。还有在罗马的格利戈里历法中有10天是不存的(1582年10月5日至14持续时间为0),英国的历法中有11天(1752年9月3日至13日)是不存在的。感兴趣的朋友可以看看这里:
http://www.whtv.com.cn/zhuanti/celebration/when/wz16.htm

但是我们做的是数字计算,不管那一天是否存在,持续的时间是24小时还是23小时甚至是0小时,只要那个号码存在,就有一个星期与之对应。所以这个公式仍然是适用的。
如果要计算的是时间段,就必须考虑这个问题了。
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