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HelpMeACM 2005-05-27
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高斯引理的证明谁会呢???
galois_godel 2005-05-27
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高斯引理的证明:
以a1,a2,...,al(l=(p-1)/2-m)表示余数中小于p/2的数，以b1,b2,...,bm表示诸余数中大于p/2者，则
a1,a2,...,al,p-b1,p-b2,...,p-bm都在1与(p-1)/2,而且是两两不同的。
则 a1*a2*...al*(p-b1)*(p-b2)*(p-bm)=((p-1)/2)!
化简既有 n^((p-1)/2)%p=(-1)^m
所以 (n/p)=(-1)^m
以a1,a2,...,al(l=(p-1)/2-m)表示余数中小于p/2的数，以b1,b2,...,bm表示诸余数中大于p/2者，则
a1,a2,...,al,p-b1,p-b2,...,p-bm都在1与(p-1)/2,而且是两两不同的。
则 a1*a2*...al*(p-b1)*(p-b2)*(p-bm)=((p-1)/2)!
化简既有 n^((p-1)/2)%p=(-1)^m
所以 (n/p)=(-1)^m
HelpMeACM 2005-05-12
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高斯引理的证明谁会呢???
mathe 2005-04-30
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eular(n)是n同余类中同n互素的同余类的数目.
上面的a必须满足(a,n)=1才行,这样以后,证明就很简单了,
假设m=eular(n)个同n互素的同余类分别为
b(1),b(2),b(3),...,b(m)
由于(b(i),n)=1,(a,n)=1,所以(a*b(i),n)=1
也就是
a*b(1),a*b(2),...,a*b(m)中所有的数都同n互素
而且对于其中任意两个数
a*b(i)和a*b(j),如果它们关于n同余,那么我们就可以得到b(i)同b(j)同余,矛盾
也就是说
a*b(1),a*b(2),...,a*b(m)也正好取遍m个同n互素的同余类,所以
b(1)*b(2)*...*b(m)=a*b(1)*a*b(2)*....*a*b(m) (mod n)
也就是
1=a^m (mod n)
上面的a必须满足(a,n)=1才行,这样以后,证明就很简单了,
假设m=eular(n)个同n互素的同余类分别为
b(1),b(2),b(3),...,b(m)
由于(b(i),n)=1,(a,n)=1,所以(a*b(i),n)=1
也就是
a*b(1),a*b(2),...,a*b(m)中所有的数都同n互素
而且对于其中任意两个数
a*b(i)和a*b(j),如果它们关于n同余,那么我们就可以得到b(i)同b(j)同余,矛盾
也就是说
a*b(1),a*b(2),...,a*b(m)也正好取遍m个同n互素的同余类,所以
b(1)*b(2)*...*b(m)=a*b(1)*a*b(2)*....*a*b(m) (mod n)
也就是
1=a^m (mod n)
jp1984 2005-04-30
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The equotion should be restricted by (a,n) = 1.
And try the lemma below : given (a,n) = 1,r(1),r(2),...r(euler(n)) positive integers,and are less than m,and they and m relative primes,then the least (mod m) of the sequence a*r(1),a*r(2),...a*r(euler(n)) is a permutation of r(1),r(2)...r(euler(n))
And try the lemma below : given (a,n) = 1,r(1),r(2),...r(euler(n)) positive integers,and are less than m,and they and m relative primes,then the least (mod m) of the sequence a*r(1),a*r(2),...a*r(euler(n)) is a permutation of r(1),r(2)...r(euler(n))
