试证明: 除了与非、或非外，没有一个连接词是完备的。

[zzwu]

试证明: 除了与非、或非（即Sheffer操作）外，没有一个连接词是完备的。

注：所谓完备，就是利用它的不断组合（连接），可以来产生所有其他功能的逻辑电路。

[dragonfly001]

學習.................................
頂一下

[dengsf]

这里的连接词是否仅限于二元连接词？

如果是二元连接词的话，那根据真值表，最多只有 16 种不同的连接词。
如果连接词是完备的，那它必须能通过有限步的组合实现出 与、或、非 3种基本的操作。
记 与为A, 或为O， 非为N， 与非 为 AN(and not)；
则： N a = a AN a
a O b = (a AN b) AN (a AN b)
a A b = N(a O b) = ...
或非 的类似，所以这两个连接词是完备的。

假如一个连接词是完备的（记为 #），
则必须有： 0#0 = 1; 1#1 = 0
否则不能实现 非 操作。
比如 0#0 = 0，则很容易看出，无论 # 怎么组合，在任何地方（内部组合的连接处）绝对不会出现 1，所以不可能产生 1 的输出； 1#1 的类似。

这样只有 4 种可能了，
对于两端的输入 a=0011, b=0101, (这里表示两端输入的不同组合，下面的类似)
输出仅有 1000(或非) 1010 1100 1110(与非) 4 种可能，
只需否定 1010 1100 即可。
而 1100 是 1010 的两个输入端交换所获得的，所以只需否定 1010 即可。

下面用深度来表示组合的最大层数，
比如输入端的深度为 0， a#b 的深度是 1， ((a#b)#(a#a))#b 的深度是 3 。。。
用 Si 表示深度为 i 的组合所获得的所有可能的输出。
为了简便，如果之前的深度已经出现过的就不再写出，
同时用 Si[j] 表示在深度 i 的输出集合的第 j 个元素（0开始），
用 # 表示连接关系， 其真值表为
a\b 0 1
0 1 0
1 1 0
则得：
S0 = {0011, 0101}
S1 = {
S0[0]#S0[0], S[0]#S0[1],
S[1]#S[0], S[1]#S[1]
}
= {
1100, 1010,
(1100), (1010)
}()表示跟前面重复而忽略的。
S2 = {
S0[0]#S1[0], S1[0]#S0[0], S0[1]#S1[0], S1[0]#S0[1],
S0[0]#S1[1], S1[1]#S0[0], S0[1]#S1[1], S1[1]#S0[1],
S1[0]#S1[0], S1[0]#S1[1], S1[1]#S1[0], S1[1]#S1[1]
}
= {
(0011), (1100), (0011), (1010),
(0101), (1010), (0101), (1010),
(0011), (0101), (0011), (0101)
}
很明显 S2 之后的也不会出现新的值了，所以 # 不是完备的。

[qrlvls]

顶

[chunhai12]

占个位子先

[hj5182001]

dengsf(decision bell)讲得好.
但我认为可以用反证法来更简单

[zzwu]

hj5182001(天行健) :

那就把你的更简单的反证法也写出来吧!

[aheadyes]

up

[zzwu]

up

[yelling]

你指的除此之外的联结词是指？

[zzwu]

yelling(Ray)：

"除此之外的联结词"是指一切可能的二元逻辑连结词，

用二元的逻辑连结词可以用二元函数f(a,b)形式表示，当a,b分别输入各种不同真(1)假(0)值
{0,0}，{0,1}，{1,0}，{1,1}
时,如果2个函数，在一组输入下, 输出不同, 则它们就是不同的.

这样的不同连接词一共有2^4=16个,它们分别是

函数编号 a,b组合 f(a,b)输出
------------------------------------------
0 0,0 0
0,1 0
1,0 0
1,1 0
[注]这一函数是恒等于0: f(a,b)≡0,即“永假”函数,
---------------------------------------------
1 0,0 0
0,1 0
1,0 0
1,1 1
[注]这一函数是“合取”函数,或“与”函数
----------------------------------------------
2 0,0 0
0,1 0
1,0 1
1,1 0
[注]这一函数是“非b”函数,即 f(a,b)=not(b) 实际已经退化为一元了
------------------------------------------------------------
3 0,0 0
0,1 0
1,0 1
1,1 1
[注]这一函数也是一元函数,即 f(a,b)=a
-----------------------------------------
4 0,0 0
0,1 1
1,0 0
1,1 0
[注]这一函数是 (非a)与b, 也就是非（b→a）
----------------------------------------
5 0,0 0
0,1 1
1,0 0
1,1 1
[注]这一函数也是一元函数,即 f(a,b)=b
---------------------------------------
6 0,0 0
0,1 1
1,0 1
1,1 0
[注]这一函数就是‘异或’,即 a XOR b
--------------------------------------
7 0,0 0
0,1 1
1,0 1
1,1 1
[注]这一函数就是‘或’函数,即 a OR b
------------------------------------------
------------------------------------------
8 0,0 1
0,1 0
1,0 0
1,1 0
[注]这一函数就是‘或非’,是完备的
---------------------------------------
9 0,0 1
0,1 0
1,0 0
1,1 1
[注]这一函数叫做“等价”函数,即 f(a,b)=（a≡b）,‘≡’这里表示等价

------------------------------------------
10 0,0 1
0,1 0
1,0 1
1,1 0
[注]这一函数也是一元函数,即 f(a,b)=非b
------------------------------------------
11 0,0 1
0,1 0
1,0 1
1,1 1
[注]这一函数是 非b or a ,即 b蕴含a, b→a

-----------------------------------------
12 0,0 1
0,1 1
1,0 0
1,1 0
[注]这一函数也是一元函数,即 f(a,b)=非a
-------------------------------------------
13 0,0 1
0,1 1
1,0 0
1,1 1
[注]这一函数是 非a or b ,即 a蕴含b: a→b
-----------------------------------------
14 0,0 1
0,1 1
1,0 1
1,1 0
[注]这一函数是"与非"函数,是完全的
------------------------------------------
15 0,0 1
0,1 1
1,0 1
1,1 1
[注]这一函数是永真函数,f(a,b)≡1
---------------------------------------

dengsf(decision bell) 最后部分证明的,就是非a(或非b)不完备，而它们是一元函数。

而由推导的结果：

S2={
(0011), (1100), (0011), (1010),
(0101), (1010), (0101), (1010),
(0011), (0101), (0011), (0101)
}
= {
A, !A, A, !B
B, !B, B, !B
A, B, A, B
}
= {A, !A, B, !B} （ 其中惊叹号‘！’代表‘非’）

可以看出，一元函数只能产生一元函数，不能产生任何一个二元函数。

[zzwu]

.

[zzwu]

期待更多人的回复,

大家慢慢地思考吧....

[dengsf]

o，原来那两个本质上是一元函数～
用 zzwu 的解释确实可以简洁很多。

对了，上面的完备性还有一个前提，
就是不允许使用常量，只能使用给定的变量及其产生出来的值，
所以在考虑能否达到 非 效果的时候就筛掉了 3/4。

但如果能够使用常量，即可以直接使用 0， 1
使用上面的方法可以得出（只是在第 0 层里加上 0000 和 1111，其它不变）
可以得出对于 a=0011 b=0101 时，
输出为 0010 0100 1011 1101 也是完备的，16种情况齐全，
相当于zzwu的 2、4、11、13 这四个表的情况。
【PS: 第 2 个表有笔误，应为 !(a->b) 】

如果再复杂一点，允许反馈，
那是否会有新的完备连接词？
感觉挺复杂的，
hoho，期待高人讨论。

[dengsf]

刚才又想了一下，
觉得反馈是不会再增加新的完备词了。
下面只说说一些想法，说得比较简单，而且可能有错。

这里的反馈必须是有效的，如果结果有可能产生不确定或不稳定的结果则认为该组合是错误的，直接out。比如 S = S and 1, S就是不确定了， 而 S = S 异或 1 就是不稳定的。

上面已经有 6 个连接词可以达到完备了，还剩 10 个，分 3 类。

一：0000 1111
这两个是恒假和恒真，很明显，任何反馈都不会产生任何特殊的输出，也就是跟没有反馈的情况是完全一样的。

二：
0001 0110 0111 1001
这几个分别是 与、异或、 或、 同或。
它们都符合 交换率 和 结合率，所以取其最基本的一个反馈部分（里面不可能再分出更小的反馈部分），设其结果是 S，操作为 ＃， 运用 交换率和结合率，得出：
S = (S # S # ...) # （其它输入的组合）
用 0001（与，AND） 作为例子，上面可简化为：
S = S AND (其它结果)
很明显，如果 （其它结果）= 1, 则产生不确定状态；
所以 S = (其它结果) = 0, 从而该部分仅相当于一个 常量0 的效果，没有任何新增加的部分。
其它几个类似。

三、0011 0101 1010 1100
这几个就是上面 zzwu 所列出的 一元函数，设输入端从左到右顺序是 a, b, 则这几个分别是 a, b, !b, !a。 根据前面几帖的结果，可以用一个更通用的 sel(a,b,!a,!b) 来代替，表示从这里选出其中一个作为输出。这里很明显，最终有效的反馈就只产生那几个东西了～～

[zzwu]

to dengsf:

你把问题又向前推进了几步,精彩极了!

特别是引进反馈，这样，函数就可以产生不确定或不稳定的输出，而这真是时序电路的本质，
如果没有反馈，输出总由输入确定，就不会有触发器，寄存器，也就不会有今天的计算机了。

如有可能这一问题可进一步讨论下去，如组成类似于各种各样神经网络那样的网络结构，而不
限于已经知道的触发器、寄存器那样的数字电路结构，看它们有哪些性质?

[dengsf]

确实，前面的讨论都是将 连接词 作为一个理想的单元来处理的。
而且个人觉得理想单元所能产生的东西是非常有限的。

但如果考虑到一般的情形，上面的假设就远远不够了，
zzwu 能否另外想个更合理的模型出来？

而且，我对神经网络一窍不通，
能否顺便介绍一下？

[zzwu]

dengsf(decision bell) ：

呵呵，为什么除了你，大家都不来参与讨论？

真值函数，输入输出都是0和1，是世界上最简单的函数啊！

[MadLee]

一个连接词当然不会是完备的，但是如果多于一个连接词就有可能是完备的，未必非要是与非、或非

[zzwu]

to MadLee(风里麦笛) :

现在问题就是要考察: 除与非或非之外,是否还有,或者没有,其他的单一连接词也是完备的.

[zzwu]

如再再没有发言,准备结贴.



to dengsf(decision bell)：

关于神经网络，可以参看ai-junkie的个人网站：

http://www.ai-junkie.com/ai-junkie.html

其中第一个内容

"Neural Networks in Paain English"

用普通的语言，而不是用数学语言（大量的数学公式）介绍了神经网络,值得一看。



有关神经网络的具体形状（拓扑结构），可以参看下面几个例子：

http://www.ai-junkie.com/ann/evolved/nnt4.html

http://www.ai-junkie.com/ann/evolved/nnt7.html

http://www.ai-junkie.com/ann/som/som1.html