虚心请教一个数学问题

[jp1984]

1)求666^666的最后十位数
2)求666!^666!的最后十位数

我想解决了1)则可以解决2) .对于666!可对其展开成 素数的幂乘形式.
这个问题我零星的想了有一个礼拜.得到了各种各样的思路,但是都没有办法进行下去.
最有希望开展下去的思路是. 如何找到 x(mod a),和 x(mod a^n) n>=1 之间的关系.
本题编程可能比较容易实现 .对大指数的幂,可把幂化为2进制来解决。

请教各位同志,怎么解决这个问题呢?

[jp1984]

数学方法解决,很明显这是个数论上的题目, 只要求得 666^666(mod 10^10)就行了,但是如何求的结果是个困难的事情..

[gnefuil]

模10^10不就是求最后10位数么？
下面不是写了数学推导了嘛？

[bxyqt]

step1:s=1,k=0
step2:s=s*666,k=k+1
step3:if s>10^10 转换S为字符，取后10位，再将s转换为数字。
step4:if k<=666，转step2。
最后的结果S就是你所求的值。

[aheadyes]

bxyqt(碧血银枪) 和 dext(德克斯特) 的代码；
就是 mysword 的实现啊。

这种题有纯粹的数学推导吗？
一开始还以为楼主要的是,根据666^666的某种性质：一步就能推出来的公式. 我数学菜没能看出来）


为什么要不断的模10^10?求的只最后的十位数啊.？
因为你要求的是最后10位啊，所以最后跟结果有关的肯定是最后10位
取模就去掉无关的位。这样不断相乘后取模，最后就为所求的结果。

[beepbug]

如果你的编译器支持long long int类型，即可以存放10位数，那很容易解决666^666。我只说一个算法：你每乘一次666，就把积对10^10求模余，即只剩下低10位数。任何一位数学教师都会告诉你，扔掉的东西对最后的积是没用的。

[dext]

第一个问题的代码

public class GetMod {
public static void main(String[] args) {
long s = 1;
for (int i = 0; i < 666; i++) {
s *= 666;
s %= 10000000000L;
}
System.out.println("s = " + s);
}
}

[gnefuil]

不断的模10^10

a^n mod m = ((((a mod m)*a mod m)*a mod m)...mod m)

[jp1984]

to aheadyes
是mysword的话有歧义,他的意思可以理解成对666^666的最后结果不断取模10^10.后面的我又没看 :p
呵呵.当是如果按照这种方法,对不支持13位以上的数的类型的语言.比如C,则还是要用到高精度.这里是算法版,不需要太注重实现的问题.我只是想弄清楚其中的数学的规律而已.
我想你是没有认真分析而已 6有很多优良的性质 6 = 1+2+3. 而且对大整数的幂运算来说,里面也有很多可用的定理.如Fermat定理和Euler定理.而对2)问则除了利用n!的标准素数展开外,可能还会用到wilson定理.老实说,本身这题就是个数学题,是出自一本数学趣题的.
我想你还是认真的做做再发言比较稳重.

[aheadyes]

呵呵，我的数学菜得不行，继续关注。。。
算法版，有很多数学牛人，学习！

[GetTheWorld]

大家讨论不要有火药味嘛

[gnefuil]

c不支持13位以上？搞笑啊
现在主流c编译器都是支持long long的吧，64位二进制，也就是20位10进制

我觉得要先搞清楚，要问的问题是对某个特殊数值比如666，还是对一般性问题求解，比如就是求n^n的后多少多少位
其次，你希望的解答是数学解答还是计算机解答？两者的思考方式是不一样的

[jp1984]

to dext,
查了一下,java中long型确实支持超过十三位的数,挺好的。但是其实你做的还是错了。自己去发现错误吧.

to mysword,
为什么要不断的模10^10?求的只最后的十位数啊.

其实本题的初忠只是纯粹的数学推导,没想到各位都是借助计算机来解决。期待后来者.

[hanweizhouricher]

顶一下

[jp1984]

为什么666!^666!最后十位都是0啊?

[aheadyes]

看来这些数字真的是楼主凭空出来的：）
大家都把焦点放在第一题，而乎略了第2题。
还是mathe心细！
50！ 最后10位 肯定是0了，
何况666!^666!

[mathe]

666!^666!最后10位显然都是0
666^666做模10计算就可以了

[blue_sky007]

to:jp1984,末尾是0的数字乘以其他任何数字末尾的0都不会丢失的.

[blue_sky007]

所以遇到0结尾的自然就保留下来.因此,对于666!^666!的末尾的0有很多很多!

[GetTheWorld]

hoho jp1984笨笨了

[jp1984]

50!最后十位为零为什么666!^666!就是零?
好笨!请指教!