N个圆的相交公共面积求法

[寻开心]

原题参考 mmmcd 超超 在这个帖子当中的讨论
http://community.csdn.net/Expert/topic/4075/4075074.xml?temp=.4154627

N个任意圆相交求公共面积的问题

必须注意到如下
一：凸体和凸体相交依然是凸体，多元相交后也是凸体
二：多元相交结果，必然是由圆弧所组成，
三：最终的相交面积为各个子圆弧的弓形面积 + 内部凸多边形的面积


要解决这个问题，要解决下面几个问题：
第一个：圆弧的表达方法
Arc(圆心位置，半径，开始角度和结束角度，P1， P2)
p1，p2是两个交点的位置
交点表达：
P(x, y, c1, c2) : 必然是两个 圆交出来的

第二个： 建立同圆的圆弧相交算法
只有两个圆弧是同一个圆上的时候，才用此算法
算法运算的结果是生成一组圆弧，他们的圆心，半径相同，其他的参数不同

第三个： 任意两圆相交结果的圆弧表达方法
任意两个圆做相交判断，结果有三种：
相 交：得到组成相交结果的两个圆弧
不相交：得到两个空的圆弧
包 含：得到一个空圆弧，一个满圆弧

有了这三个算法，n个圆相交的解决方案如下

第一步：
n个圆两两执行相交计算，把结果用圆弧表示，执行结果是一个N×N的表格
执行次数是n*(n-1)/2, 每次运算填充表的两个位置
第一个圆 第二个 第三个 第四个 ..... 第n个
第一个圆 * arc12 arc13 arc14 ..... arc1n
第二个圆 arc21 * arc23 arc24 ..... arc2n
第三个圆 arc31 arc32 * arc24 ..... arc2n
第四个圆 arc41 arc42 arc23 * arc2n
........ ................................................
第n个圆 arcn1 arcn2 arcn3 arcn4 ..... *
在这个表格当中，每次运算填充的是arcij和arcji两个位置
比如,第3个和第4个圆相交，结果写入arc34和arc43
arc34是相交后的，第三个圆上的圆弧， arc43则是相交后的第四个圆上的圆弧

如果在执行这个运算过程当中
arcij 和 arcji都是空圆弧，那么证明圆i和圆j不相交，全体的交集必然是空，可以停止算法了
arcij 和 arcji一个空，一个满。那么空的圆可以抛弃当作不存在，因为他们之间是包含关系

第二步
对表的每行做同圆的圆弧的相交运算，得到的最终结果依然是多段圆弧
相交的结果，可能是空，但是依然是有效的答案

第三步，串连所有的圆弧
从第二步计算得到的结果当中，随意找到一个不空的圆弧，从中找到任意一个圆弧，开始串连
串连的方法：
总面积S为0， 串连点队列L为空
从表当中选择一个圆，这个圆的表内同圆圆弧相交计算后得到的圆弧数组不空，从这个数组当中任意取得一个圆弧，作为当前圆弧
while(1)
{
把当前圆弧的P1点加入串连顶点队列L当中
计算这个圆弧的弓形面积，加入总面积S当中
if ( 当前圆弧的P2点是顶点队列L的第一个点) {
是跳出循环，结束串连
}
根据P2（x，y，c1，c2）点，找到它和另外一个圆的交点对应的圆弧，并把该圆弧作为当前的圆弧， 继续循环
}

第四步, 计算面积
在执行完成第三步之后， 串连点队列L就是N个圆相交部分的凸多边形的顶点队列，计算它的面积加入到S当中就完成了任务

[mmmcd]

听说有一种方法：通过格林公式计算曲线积分来算n个圆并的面积

[寻开心]

记得格林公式是计算多端连续的封闭曲线所围绕的面积用的
可是要用格林公式就要把各个曲线段方程计算出来，对于这个例子恐怕更麻烦

计算弓形的面积，在知道半径与弦长的时候可以很方便的算出小弓形或者大弓形的面积的
在前面的方法当中，由于计算出来了弧的两个端点的各自的角度，所以计算弓面积更容易

[mmmcd]

具体积分的计算过程我也不清楚
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/95/circleset.area
这里有个人说他曾经 thought this problem was too cumbersome,
但现在 decided it's kind of cool.

[mmmcd]

那个人还说：
The area may be found without too much fuss using Stokes' Theorem, but there's an easy geometric argument too.

[寻开心]

觉得那个网上的答复是建立在已经获得了最终的各个圆弧基础上，提供的如何计算面积的方法
而对如何得到各段圆弧没有解决方案

对于圆来说，不用积分，知道了弧长和半径，弓的面积中学生都会算 ;)

[galois_godel]

是啊， 关键在于用一段段圆弧表示边界,
至于是否用曲线积分还是割补法,其实是一样的,
因为割补法当中的那个多边形面积公式本来就是用曲线积分推出来的.

[mathe]

其实如果对计算精度要求不是太高的话,还是用蒙特卡罗法比较简单:)

[寻开心]

to mathe: 详细点

精确计算是比较累

[mathe]

用一个矩形套住所有的圆的交(可以偏大).矩形的面积很容易计算.
然后在矩形内部产生大量的随即点(比如1000000个点)
判断有多少个点落在所有的圆的内部,这个就是面积的期望值.

[寻开心]

理解，可是
计算量也不小： 每个点在所有圆内部的判别计算×随机数的量
生成套住交的矩形的算法也要琢磨

蒙特卡罗法这种算概率的方法没有大量的样本就不准
和把矩形分成100000个部分，每个部分取中心点判断是否在公共交内部一样，而且会更准确

至少也是一种解决的办法