二发：谁能解释一下紧性和完备性？

不好意思，以前发了一贴可没有高人回答，只好又发一贴：

我的数学是业余自学的，普通拓扑学有完整地看过，但总有些稀里糊涂，这影响到我现在学的其他数学（像泛函分析、概率空间等等），特别是紧性，总是很没感觉，拓扑空间的三条基本定义也总是很奇怪，为什么就是这三条呢？特别是离散的拓扑空间，总摸不着头脑。虽然知道闭区间是紧的，但就是搞不清楚这个紧性到底是怎么回事，哪位数学家愿意指导一下？