如何求两个三维向量之间的夹角（要求值域在[0，2PI]之间）？

[Tomcat4]

设两个规范化后三维向量n1(x1,y1,z1),n1(x2,y2,z2)，按照计算机图形学书上计算两条直线的夹角的公式：
angle = arccos(dot(n1,n2))
由此得到的夹角值的范围是[0,PI]之间，由于我现在处理的是向量，它们之间的夹角的实际值域应该在[0，2PI]之间，请问如何计算得到两个向量的夹角在[0，2PI]之间？

[syy64]

主要是考虑哪个作为起始向量，可考虑将两向量所决定的平面置平，在平面上求夹角应该比较容易。

[alphapaopao]

三维空间两个矢量，如果不借助一个辅助平面，则无法定义一个在 [0, 2*PI) 之间的夹角。

搂住明白上面的话之后，我再往下讲。

[Tomcat4]

可考虑将两向量所决定的平面置平?
这需要旋转这个平面，在旋转的时候仍然需要求这个平面与XOY（假设为旋转后的平面）之间的夹角，好像还是不好解决啊？

syy64(太平洋) 说的考虑哪个向量作为其实向量，这个在计算向量夹角的时候的确应该考虑，但是从公式angle = arccos(dot(n1,n2))中并没有看出这两个向量的顺序会影响这个angle的值啊？高手有没有办法解决啊？

[Tomcat4]

alphapaopao(炮炮[www.alphasun.org]图形学) 请继续...

[寻开心]

http://blog.csdn.net/happy__888/archive/2005/04/28/367008.aspx

[syy64]

不在一条直线上的空间三点可以决定一个平面，可以不用求夹角；

// 功能：根据空间的三点（不在一条直线上，三点决定一个平面，
// 且三点以逆时针排序）来决定一个坐标系，
// 第一点与第二点 的连线作为X轴，平面的法线作为Z轴，第一点作为原点，
// 返回三个坐标轴的九个方向余弦。 2004.2.5. 2004.2.26.改
void CoordAxis(CPoint3DArray& pt, bool bCounterClock, double dAxisCos[][3])
{
// pt-->空间三点的坐标数组，点序以逆时针排序；
// bCounterClock-->点序的方向，逆时针是true;
// dAxisCos[][3]-->九个方向余弦，其中：
// dAxisCos[0][0]-->X轴的α方向余弦；
// dAxisCos[0][1]-->Y轴的α方向余弦；
// dAxisCos[0][2]-->Z轴的α方向余弦；
// dAxisCos[1][0]-->X轴的β方向余弦；
// dAxisCos[1][1]-->Y轴的β方向余弦；
// dAxisCos[1][2]-->Z轴的β方向余弦；
// dAxisCos[2][0]-->X轴的γ方向余弦；
// dAxisCos[2][1]-->Y轴的γ方向余弦；
// dAxisCos[2][2]-->Z轴的γ方向余弦；
int i;
double dArea, dAreaX, dAreaY, dAreaZ;
CPoint3D vXAxisVector, vYAxisVector, vZAxisVector;
CPoint3DArray ptt;

vXAxisVector = Vector(pt[1], pt[0]);
vXAxisVector = Normalize(vXAxisVector); // Use our function we created to normalize the normal (Makes it a length of one)
if(!bCounterClock)
{
dArea = 0.0;
dAreaX = 0.0;
dAreaY = 0.0;
dAreaZ = 0.0;
ptt.SetSize(4);
for(i=0;i<3;i++)ptt[i] = pt[i];
ptt[3] = ptt[0];
for(i=0;i<3;i++)dAreaZ += (ptt[i+1].x-ptt[i].x)*(ptt[i+1].y+ptt[i].y)*0.5;
for(i=0;i<3;i++)dAreaY += (ptt[i+1].x-ptt[i].x)*(ptt[i+1].z+ptt[i].z)*0.5;
for(i=0;i<3;i++)dAreaX += (ptt[i+1].y-ptt[i].y)*(ptt[i+1].z+ptt[i].z)*0.5;
dArea = dAreaZ;
if(fabs(dAreaY)>fabs(dArea))dArea = dAreaY;
if(fabs(dAreaX)>fabs(dArea))dArea = dAreaX;
vZAxisVector = Normal(pt);
if(dArea>0.0)
{
vZAxisVector = CPoint3D(0.0,0.0,0.0)-vZAxisVector;
}
}
else
vZAxisVector = Normal(pt);
vZAxisVector = Normalize(vZAxisVector); // Use our function we created to normalize the normal (Makes it a length of one)
vYAxisVector = Cross(vZAxisVector, vXAxisVector); // Take the cross product of our 2 vectors to get a perpendicular vector

// Now we have a normal, but it's at a strange length, so let's make it length 1.

vYAxisVector = Normalize(vYAxisVector); // Use our function we created to normalize the normal (Makes it a length of one)
dAxisCos[0][0] = vXAxisVector.x;
dAxisCos[0][1] = vYAxisVector.x;
dAxisCos[0][2] = vZAxisVector.x;
dAxisCos[1][0] = vXAxisVector.y;
dAxisCos[1][1] = vYAxisVector.y;
dAxisCos[1][2] = vZAxisVector.y;
dAxisCos[2][0] = vXAxisVector.z;
dAxisCos[2][1] = vYAxisVector.z;
dAxisCos[2][2] = vZAxisVector.z;
}

以上函数仅供参考。

[alphapaopao]

楼上的可以构造一个旋转矩阵，或者叫方向余弦阵

[syy64]

还请大侠们对上面的函数，提提意见和建议，以使它更加完善，这在我们的工作中用处很大。

[寻开心]

补充说明一下，在本人的blog当中的算法公式是：

theta = atan2 ( (a×b) *N, a*b )
这里面，N是a,b所在平面的单位法向量（这个方向也许和a×b相同，也许相反的）
也就是把a旋转theta到达b方向时候的转轴

当a和b是任意的空间向量，而N是未知的时候，一般取a×b作为旋转轴
那么这个时候，不需要上面的公式，只需要计算
theta = acos(a*b/|a|/|b|)
结果是0到Pi
而事实上，按照a×b作为转轴旋转的时候，角度只会是0到Pi之间的

[寻开心]

在指定的N的时候，旋转才有0到2Pi的说法
在用a×b生成的N的时候，旋转角度只能是0到Pi

[kenshu111]

我认为再求一下arcsin()就可以知道是0-2PI之间的哪个180度半区间

[寻开心]

问题主要就在于sin的数值获取不到
|a×b|=|a|*|b|*sin(theta)
但是|v|运算返回的数值永远是正数，因此asin的结果只能是0到PI/2的范围的，这才是问题的关键

[Tomcat4]

问题已经按照诸位的解释而解决，虽然有DOT得到的角度在[0,PI]之间，但是可以有n1×n2得到旋转轴的方向，所以仍然能够实现正确的旋转。谢谢！

[alphapaopao]

hehe
条条大路通罗马。
你的 dot 用 arccos 的时候，要注意数值稳定性问题 ， 参见 http://www.alphasun.org/alphasun/techarticle/angle/Angle.htm

[HUNTON]

定义：平面上的三点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)的面积量：
|x1 x2 x3|
S(P1,P2,P3) = |y1 y2 y3| = (x1-x3)*(y2-y3) - (y1-y3)(x2-x3)
|1 1 1 |
当P1P2P3逆时针时S为正的，当P1P2P3顺时针时S为负的。

所以你只要算S（N2，0，N1）的值，
如果大于或等于0，angle = arccos(dot(n1,n2))，
小于0，则angle = 2PI - arccos(dot(n1,n2))