一个位图，长宽分别是m和n，试计算旋转x角度之后位图的面积。给出理论上旋转之后的最大面积，并求出此时的旋转角度，给出公式。

[xiaoxiaofei]

如题。

[gxqcn]

w = m*|cos(x)| + n*|sin(x)|
h = m*|sin(x)| + n*|cos(x)|

S = w * h = m*n*(1+abs(sin(2x))
∴当且仅当 x=(k±1/4)*Pi（k∈Z）时，S取得最大值 Smax = 2*m*n.

[xiaoxiaofei]

楼上的错了，是位图，注意啊
简单来说：：一个高1，长12的‘线’，转60度，变成长6，高6*sqrt（3）了，此时面积就是36*sqrt（3），是原来的三倍还多。。。。。。

[gxqcn]

我知道了，由于是位图，w、h 需向上取整，即修订为：

w = ceil( m*abs(cos(x)) + n*abs(sin(x)))
h = ceil( m*abs(sin(x)) + n*abs(cos(x)))

余下的你自己推导好了，不会很难的。

[gxqcn]

第一个回帖有误，应为：

S = w * h = m^2 + n^2 + m*n*abs(sin(2*x))
∴当且仅当 x=(k±1/4)*Pi（k∈Z）时，S取得最大值 Smax = m^2 + m*n + n^2.

如果考虑到 w、h 需向上取整，上式仅需作相应的变换即可。

[gxqcn]

对不起，又写错了（看来今天头脑有点不清醒，不适合推导公式），应为：

S = w * h = m*n + (m^2+n^2)*abs(sin(2*x))
∴当且仅当 x=(k±1/4)*Pi（k∈Z）时，S取得最大值 Smax = m^2 + m*n + n^2.

如果考虑到 w、h 需向上取整，上式仅需作相应的变换即可。

[xiaoxiaofei]

。。。。。。这个也是错的啊。
还拿那条长12，高1的‘线’为例，很明显它旋转45度的时候面积最大，此时长宽各为6*sqrt（2），面积是72，如果带入你的公式，仅仅一个12的平方就有144了啊。

[gxqcn]

对不起，还是写错了（看来今天真的不适合推导公式了），应为：

S = w * h = m*n + (m^2+n^2)*abs(sin(2*x))/2
∴当且仅当 x=(k±1/4)*Pi（k∈Z）时，S取得最大值 Smax = (m+n)^2 / 2.

如果考虑到 w、h 需向上取整，上式仅需作相应的变换即可。

[xiaoxiaofei]

我算的x＝m*cosx + n*sinx
y＝sqrt(m^2+n^2)*cos[arctg(m/n)-x];
面积就是s ＝ x*y，可是不知道怎么化简，晕，高中的知识忘了。

[xiaoxiaofei]

参考我得上上个回复中的例子，你的好像大概也许可能还是错的喔，呵呵

[gxqcn]

其实这是一个很简单的问题（我的工作就是做图像处理算法的），结论也很明了。
也正因为如此，我在一个打印纸的边缘进行的推导，结果接连犯了些低级错误:(

楼上所用公式是不方便进行极值分析的，而不仅仅是一个“高中的知识忘了”的问题。

[寻开心]

把问题换一个方式描述：

以矩形中心为坐标系原点， 假定对角线的一半长度是l，两个对角线之间的夹角（锐角）是alpha
假定初始状态，矩形的一条对角线和x坐标轴齐平，然后旋转beta角度，beta从0到360度

那么这个时候，四个角点的坐标分别是
l*cos(beta), l*sin(beta) = x1, y1
l*cos(beta+alpha), l*sin(beta+alpha) = x2, y2
-l*cos(beta), -l*sin(beta) = -x1, -y1
-l*cos(beta+alpha), -l*sin(beta) = -x2, -y2
面积就等于 4* max(fabs(x1), fabs(x2)) * max(fabs(y1)*fabs(y2))

显然l对于结果的影响是可以作为因子提取出来的
而且根据对称性旋转360度的情况可以用90度以内的情况替代
问题实际上就是在x方向比较： cos（beta）和cos（beta+alpha）的情况
在y方向比较sin(beta)和sin(beta+alpha)的情况

在0到 90 - alpha/2 的范围内， |cos(beta)| > |cos(beta+alpha)|
|sin(beta)| < |sin(beta+alpha)|
而在 90－alpha/2范围内， |cos(beta)| < |cos(beta+alpha)|
|sin(beta)| > |sin(beta+alpha)|
所以，在 0到90－alpha/2的范围内：
面积是： 4*l*l* cos(beta)*sin(beta+alpha)
在在 90－alpha/2到90的范围内
面积是： 4*l*l*cos(beta+alpha)*sin（beta）
各自算极值吧

[gxqcn]

唉，还是好事做到底，给你推导一下吧。

为方便讨论，限定 0 <= x < Pi/2，则

w < m*cos(x) + n*sin(x) + 1.0
h < m*sin(x) + n*cos(x) + 1.0

S = w * h
< 1 + m*n + (m^2+n^2)*sin(2x)/2 + (m+n)*(sin(x)+cos(x)
= 1 + m*n + (m^2+n^2)*sin(2x)/2 + √2*(m+n)*cos(x-Pi/4)

当 x = Pi/4 时，sin(2x)、cos(x-Pi/4)均同时达到极大值1，
∴ 当 x=Pi/4 左右时，S取得最大值 Smax < t^2/2 + √2*t + 1，其中 t=m+n.

[xiaoxiaofei]

晕。。。替我解释一下那个宽12、高1的线的例子。。。。。。
那个最大值才。。。带入之后远远大于啊。

[寻开心]

对于公式
4*l*l*cos(beta+alpha)*sin（beta）
和
4*l*l* cos(beta)*sin(beta+alpha)
的极值
通过求导
导数均为
4*l*l( cos(beta)cos(alpha+beta)-sin(beta)*sin(alpha+beta)
= 4*l*l cos (alpha + 2*beta)
极值必然发生在 2*beta + alpha = Pi/2的情况下

beta = (Pi/2 - alpha)/2
也就是中轴线在45度的情况下

和gxqcn的答案是一致的

此时，最大面积是：

4*l*l*cos((Pi/2 + alpha)/2)*sin（(Pi/2 - alpha)/2）
= 4*l*l*cos(Pi/4+alpha/4)^2 = 2 * l * l * (cos (Pi-alpha/2) + 1)
= 2*l*l*(sin(alpha/2)+1) sin(alpha/2)=n/2l
= 2*l*l*( n/2l + 1)

m =12, n =1 l = sqrt(145)/2
s ＝145/2 * ( 1/sqrt(145) + 1 ) ＝ 78.52

你假定m＝12， n＝0
此时的面积就是72，近似的