如何把欧拉常数算到100位以后

[boxer_tony]

n
c = lim ( ∑(1/k) - ln(n)) 称为欧拉常数
n->∞ k=1

但由于∑(1/k)的收敛性太差，所以高精度计算欧拉常数非常困难。不知道是否有其他的公式可以计算？

[寻开心]

欧拉常数现在是有理数还是无理数都不知道呢

现在好像也只算到100万位左右

而Pi是可以计算小数点后任意位的

[mathe]

任意位,哪里有,你说的是16进制位可以计算任意一位吧,完全不同的概念

[mathe]

计算
Log(n+1)=Sum{ Log(1+1/k), for k=1,2,....,n}
将右边展开,得到
Log(n+1)= Sum{ 1/k - 1/2 *1/k^2+1/3 *1/k^3-1/4*1/k^4+..., for k=1,2,....,n}
=Sum {1/k, for k=1,2,...,n}-1/2*Sum{1/k^2, for k=1,2,...,n}
+1/3*Sum{1/k^3, k=1,2,...,n}
-...
得到
c=1/2*Sum{1/k^2,k=1,2,....} - 1/3*Sum{1/k^3,k=1,2,...} +1/4*Sum{1/k^4,k=1,2,...}-...
然后依次计算各项就可以了.

[xiaocai0001]

都是星级以上的

我...

搬个凳子先.....

[daydaymissyou]

我

扶扶眼镜先。

[liangbch]

到一些数学网站上查查，看看是否有收敛更快的级数表式或者其它算法，用这个公式计算的确太慢了。

[NowCan]

Mathematica说用的 Brent‐McMillan algorithm ，到哪儿去找呢？

[boxer_tony]

我搜过了，没有找到收敛速度更快的级数。
mathe打下提供的级数虽然收敛速度快一些，但还是不够，并且计算起来好像也挺费事。

我在一本书上看到，说18世纪的一个数学家居然手工算到了小数点后260位，简直不可想象，不知道他是如何计算的。

[liangbch]

看看这个网页：http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html

[SammyLan]

初到算法版逛逛就栽了个跟斗
居然满眼是星星 (=_=)

[liangbch]

楼上引用的是这个网页吗？ http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html

[liangbch]

欧拉使用的方法：
(1/1+1/2+1/3+1/4+ ...1/n) -ln(n)-1/(2n) + 1/(12*n^2) -1/(120*n^4)
误差：(-1/252*n^6)

[boxer_tony]

谢谢宝宝。现在又愁选哪个了，呵呵。

[boxer_tony]

终于找到一篇介绍欧拉常数的文章，给出了目前（1999年为止）的记录所用的公式。Xavier Gourdon使用该公式在1999年计算欧拉常数到了108,000,000位

[boxer_tony]

Xavier Gourdon所用公式如下：
An Cn
γ = ----- - ------- - ln(n) + O(e^(-8n))
Bn Bn^2

βn n^k
An = ∑ ( ------)^2 * Hk
k=0 k!

βn n^k
Bn = ∑ ( ------)^2
k=0 k!

1 2n [(2k)!]^3
Cn = ---- ∑ -------------------
4n k=0 (k!)^4 * (16n)^(2k)
其中β=4.970625759，β满足β(ln(β)-1)=3

[boxer_tony]

文章我是从另一个网页上搜到的，但我从你说的这个网页看到了一个小的求欧拉常数的程序。
int*d,*e,w[2850],p=475,b=10000,r=3,i,j,x;s(int k){d=w+k/14%4*p;
e=w+k/56*p;for(x=k&1,j=k/2%7*p;j--;k&1?*d=(x+=k-49?*e++-*d+b-1:
(r?r-1?4096:3888:4374)**d)%b,d++,x/=b:(x=x%i*b+e[j],d[j]=x/i));
}main(){for(;r<3&i++<33*p+!r?s(216),s(49),s(242),s(59),1:r?i=0,
w[5*p]=--r?r-1?23:84:60:printf("%.4d",w[--p])&&p>53;);}