请教一个关于树的理论证明题

[dengyejing]

对于一个有Ｎ个结点的无向图Ｇ，证明下列命题等价：
一、Ｇ是一棵树
二、Ｇ是连通的，但若去掉任意一条边，所得的图是非连通的
三、对于属于V(G)中每对不同的结点u,v，恰好存在一条由u到v的简单路
四、Ｇ不包含环且有Ｎ－１条边
五、Ｇ是连通的且有Ｎ－１条边


请给出一些规范的证明吧，对这类题我真是从没写过，完全不知从何证起？？多谢了！

[jp1984]

一、Ｇ是一棵树
二、Ｇ是连通的，但若去掉任意一条边，所得的图是非连通的
三、对于属于V(G)中每对不同的结点u,v，恰好存在一条由u到v的简单路
四、Ｇ不包含环且有Ｎ－１条边
五、Ｇ是连通的且有Ｎ－１条边

1和2等价
1=>2 G是树,显然G是连通的(由树的定义) .假设去掉一条边e' 所得图是仍是连通的.设e'的顶点为u,v .因为去掉e'图仍然连通,所以u,v之间至少存在两条路径.而u必和除去v的顶点外任何顶点连通,所以v和除去u的某一顶点必存在通路.又加上u,v之间的边e',得到一个环.这和G是树矛盾!
2=>1 也很简单

先面的证明就仿照这个

[boodweb]

可以考虑这样证：1=>2=>3=>4=>5=>1
似乎随便拿本图论的书这五个等价结论的证明都有吧