饼子堂比武贴—— 一道数学分析的问题

[laomai]

这次讨论的问题是一道数学分析课本上的问题，描述很简单，但是证明好象有些难度。
任给实数x及正整数N ，证明必可找到两个整数K、M，且K、M满足如下条件:
0<K<=N,
abs(Kx-M) < 1/N 。 （abs表示绝对值）。

例如：当x=3/4, N=3时，可以一组K,M
K=3,M=2
Kx-M = 1/4 < 1/3


老规矩：
1、讨论贴的目的是促进大家提高知识和技术，不是灌水和散分，所以本贴无分。
2、凡只顾抢楼和灌水而忘记讨论正事的饼子，删回复，扣性欲，嘿嘿

[healer_kx]

我接分来了。

[sandrowjw]

我想想，想出来一半：
令x为有理数，则x总可以表示为a / b，其中a和b互质
则上面的式子可以表示为
Ka / b - M < 1 / N
则可以得到
KaN - MbN < 1
令 K = b，而M = a，则baN - abN = 0 < 1
于是有理数x得证，现在只要证无理数x了，无理数的证明是一道经典的数分题目（好像是关于连续和一致连续的），我要先回想一下。

[sandrowjw]

无理数我只能回忆起来一些，令x是我们要证的无理数，则存在x1 = x - delta，x1为有理数并且我们能够找到K和M满足使x1代入上述表达式能够通过。
现在将x = x1 + delta代入表达式
K(x1 + delta) - M < 1/N
==>
Kx1 - M + delta * K < 1/ N
前面那个式子Kx1 - M我们可以另他=0，则只要delta足够小就行了，既delta < 1 / NK
俄，这样比较明显，但是忘记证明应该怎么写了……

[sandrowjw]

不好意思，忘记K < N的条件了，还要考虑一下。

[laomai]

现在把这道习题后面的提示说一下。
考虑取t=0,1,2,...N,
f(t) = tx-[tx],这个函数的值必然有一个小于1/n
记号[x]表示小于x的最大整数

[laomai]

我要的是这道题的严格证明，因此任何关于实数稠密性的假设以及极限和函数等理论的知识最好不要在证明中出现。
但欢迎大家把这个问题用别的角度阐述，开阔视野和思路，呵呵

[iamcaicainiao]

是证明还是找？？？

[goodluckyxl]

对于任意一个Y属于实数,及N属于自然数
可以找到一个M 属于整数使得
|Y-M| < 1/N;
证明可由f(x) = x; x->Y(Y属于实数)时存在极限

对于任意的x总存在一个K属于(0, N];使得 x = Y/K
-> 对于任意一个Y可以找到这样的xK使得 Y = Kx;
所以 对于任意的x总能找 |Kx-M| < 1/N (K 属于 (0,N], M属于Z )

[goodluckyxl]

其实要说清楚这个命题成立不难
Kx如果作为整体的一个任意整数
我们不难理解存在一个M似的Kx-M绝对值在一个有限范围内1/N
如果说对这点有意见你们可以想象M是一个非常非常趋近于Kx的一个数就可以了
那么剩下的只是对于K<=N下这个x的存在解释
可以想象一下Kx作为整体是在任意实数范围内使得这个公式成立
那么这个任意成立数除于一个定值K得到数据范围也是在任意实数范围内
那么就是说只要给定x肯定能找到这样的Kx满足条件x在实数范围内
这样就解释通了 不过这不是证明

[laomai]

刚才和狗讨论了，半天，才发现这丫的一直把M想成了实数....
狗的“证明”可以忽略了

[Leaveye]

带证表达式可以推导成：
NM - 1/K < Nx < NM + 1/K （推导过程略）
根据抽屉原则，M、K 必然存在满足 0<K<=N 的整数解。
证毕。

[Leaveye]

表达式应该写成：
(NM - 1)/K < Nx < (NM + 1)/K （推导过程略）

[Jiana]

?en

[languagec]

又比武咯...

[0黄瓜0]

从abs(Kx-M) < 1/N 可以推出
abs(Kx-M)*N<1
abs(KxN-NM)<1
因为x为实数，K 、N、M为自然数，
所以KxN为实数，NM为自然数
要使abs(KxN-NM)<1成立
NM为KxN的整数部分即可

设X=xN, X当然为实数
设XX为X的整数部分，记为XX=(int)(X)
KX的整数部分最大只有X的整数部分乘K加K-1
记为max{(int)(KX)}=(K*(int)(X) ) + K-1
因为0<K<=N,所以max{(int)(KX)}=(K*(int)(X) ) + N-1
或者说X的小数部分乘K所得到的数的整数部分最大为K-1
记为max{(int)(KX)}=(K*(int)(X) )+K-1

KX的整数部分最小只有X的整数部分乘K
记为min{(int)(KX)}=(K*(int)(X) )
或者说X的小数部分乘K所得到的数的整数部分最小为0
记为min{(int)(KX)}=(K*(int)(X) )

一个整数A模一个整数B，其结果为0到B-1
所以A加0到B-1必存在一个数模B等于0。
同理min{(int)(KX)}到max{(int)(KX)}必存在一个数模N等于0
即存在一个数除N=M。
就是说当K在1到N之间变化时，必有KxN的整数部分=NM成立
所以abs(KxN-NM)<1成立，即abs(Kx-M) < 1/N 成立

[xiaocai0001]

把村长的这事给忘了, 我搞不定, ^_^

[wumingchenchao]

看来这数学还是要的。

[积木]

看起来搞定了。

[xiaosong8584]

mark,回家看