求递归式f(n)=f(n-1)+f(n/2)的解

[icerin]

能求出通项么？给出上下界也成，谢谢大家了

[jp1984]

连初始条件都没有,叫什么递归方程?

[寻开心]

f(n/2) 对于n是奇数的时候怎么办？
看似
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n/2)

[boxer_tony]

f(n)=1/sqrt(5)*(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n)

[寻开心]

不是 f(n) = f(n-1) + f(n-2)

[wyz2006gh]

对阿，怎么没有初始值啊

[jp1984]

求bound 就比较简单了. 因为由初始条件知道该函数值必定非负且单调递增.
f(n) = f(n - 1) + f(n/2) >= 2*f([n/2]) ~ 2*f(n/2) 当 n > 2
下面let n = 2^k就可以求出f(n)的下界

f(n) <= 2*f( n-1 ) <= 2^2*f(n-2) <= .. 2^(n-1_ = O(2^n)
求得上界

[icerin]

对不起，我把一些条件漏了，f(0) =1 ,f(1)=1,还有，n/2是下取整，譬如f（3）＝f（2）＋f（1），而不是f(3)=f(2)+f(1.5),谢谢大家的关心

[mathe]

n比较大时，
f(n)大概是exp(0.6*log^2(n))
也就是n^(0.6*log(n))
比n^(log(n)/log(2))要小一些
实际上，n很大时，log(f(n))/log^2(n)是一直在递增的，只是递增的速度非常慢。
但是能否达到log(2)=0.69很难说，估计是达不大的

[yuxh]

k=log(f(n))/log^2(n)基本上应该是个常数
我只得到了1/(4*log2)<=k<=1/(2*log2)

[yuxh]

可以证明
(1)f(n)<=n^[log2(n)]
(2)f(n)>=n^([log2(n)]-1)
这里[x]表示向下取整

[yuxh]

用归纳法:
(1)n=1时,显然成立
设n=2^k+m (0<=m<2^k),则
f(n)=f(n-1)+f(n/2)<=(n-1)^k + (n/2)^(k-1) = n^(k-1)*((1-1/n)^(k-1)*(n-1)+1/2^(k-1)<=n^(k-1)(n-1+1) = n^k = n^[log2(n)]成立

[yuxh]

不好意思,第2式我搞错了
:(