某公司笔试题

[ancient]

笔试的时候这题没有做出来，请高手指点一下

一个N*N的对称矩阵，每行每列都是数字1~N的一种全排列。例如：
1 2 1 2 3
2 1 2 3 1
3 1 2
注意，3*3矩阵的一条对角线也是1、2、3的一个全排列，而2*2的矩阵则不是。请问，什么样的N，能使N*N的矩阵在满足题目条件的情况下必然有一条对角线是1~N的一个全排列。
A.3的幂
B.奇数
C.除了2以外的质数
D.N=3
E.以上全对

[LoveVV99]

mark，等待答案

[sharpdew]

奇数

[zzwu]

真是一个极好的题目!

[ancient]

二楼的能解释一下吗？

[sharpdew]

对于任一正整数N，只要比较两个数列是否有重合的点就知道上述N*N矩阵的对脚线是否为一个1-N的组合：
2, 3, 4, ...,N
N,N-1,N-2,...,2
上面两个数列分别代表对角线上的数字的位置（列编号）和第一行第一个数在不同组合下循环换位的位置（列编号），如果要想对脚线上也是一个没有重复数的组合，一定要满足上面两个数列对应的位置的数不同，仔细分析上面两个数列可知，只要N不是偶数（也就是上面数列中数的个数位奇数，因为是从2开始的），那么上面两个数列对应的数就肯定不同。

[ancient]

明白了

[def000]

首先证明：在满足题目条件的奇数阵中，任一个元素必然出现在对角线上。
用反证法，假如元素a永远不出现在对角线上，既a的任一位置(i,j)，有i!=j
考虑向一个空的矩阵添加元素a的过程：首先随意把a填到位置(i,j) i!=j，那莫，由于是对称阵，a必然也会出现在(j,i)；因为每一行每一列的元素都不能重复，所以在以后的添加过程中，a不可能出现在第i,j行和第i,j列。
如果我们用两个数组表示a可能出现的行和列，在添加a到(i,j),(j,i)之前，
能够填写a的行:1,2,3,,,,n
能够填写a的列:1,2,3,,,,n
在添加a到(i,j)和(j,i)之后
能够填写a的行:1,2,3,,,,n(去掉i,j)
能够填写a的列:1,2,3,,,,n(去掉i,j)
也就是说，相当于一次从上述数组中划掉下标相同的两行和两列。
这样如果n是奇数，划到最后会发现只剩标号相同的一行一列了，就是说添加到最后，a只能出现在对角线上，这与假设矛盾。

所以如题所述的奇数阵的每个元素都必然出现在对角线上。由抽屉原理每个元素也只能出现一次。证毕。