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有点难的问题

jp1984 2006-09-23 04:20:58

给出的是一应用问题的抽象

给定N个基数为4（就是元素个数为4）的集合，且每两个集合的交集元素个数不超过1。求所有这N个集合中最少有多少不相同的元素。

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mathe 2006-09-27

galois_godel的公式能够用我的推导出来
4*n<=m*[(m-1)/3]<=m*(m-1)/3
所以
n<=m*(m-1)/12=C(m,2)/6=C(m,2)/C(4,2)

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mathe 2006-09-27

galois_godel的结论有问题：
n<16 时候,
16n/(n+3) 是整数时， m=16n/(n+3) ,
16n/(n+3) 不是整数时， m=1+[16n/(n+3)] ,
我们取n=15,那么16*15/18=13.333...
所以m=14
实际上，根据我的结论
4*n<=m*[(m-1)/3]
m=14不满足条件，至少要m=15

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dengsf 2006-09-27

galois_godel 能否说说式子的推导过程？

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tailzhou 2006-09-27

mathe的公式最少还得加上n的限制；不是对任何的n都能成立的；
比如n=3;
用mathe的公式4*n<=m*[(m-1)/3],那么m>=7，但7个元素最多只可能组成两个集合；
S1*3<=m-1是成立的，但有可能这个条件还是太宽松了。

galois_godel的公式
n<16 时候,
16n/(n+3) 是整数时， m=16n/(n+3) ,
16n/(n+3) 不是整数时， m=1+[16n/(n+3)] ,
当n=3时，m=16*3/6=8; 8个元素也是不可能组成3个集合的（两个集合就用去了7个数，从这两集合各取一个，加上剩下的一个，还差一个数）；

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galois_godel 2006-09-26

n<16 时候,
16n/(n+3) 是整数时， m=16n/(n+3) ,
16n/(n+3) 不是整数时， m=1+[16n/(n+3)] ,

n>=16 时候，从 n< C(M,2)/C(4,2) 可以算出 m 的上界，

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galois_godel 2006-09-26

现在可以说了

你能说明下你的公式吗？

感觉是错的，这道题目不简单的，是一个特殊的区组设计

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weijiangshanwww 2006-09-26

BZ不要降我的信誉，我开始不知道是竞赛题目，但是我回答了，一定要做完（这是原则），我下次会注意问题了。而且这问题不难，很多人都能回答的。

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weijiangshanwww 2006-09-26

N>5 时：(N-N%5)/5*10+（N%5）*4-（N%5）选2的组合数

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crazy_lazy_pig 2006-09-26

初看此题,感觉用容斥原理做一下就行了:
z = 4*N - C(N,2)*1 + C(N,3)*x3 - C(N,4)*x4 + C(N,5)*x5 - C(N,7)*x7 + ...
其中xi是个分数, 分母是C(N,i), 分子就是i个集合交不为空的组合的个数.
下面的任务就是让前面是负号的仅可能大,是正号的尽可能小, 但是具体算法恐怕要对具体的N进行分析了.

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weijiangshanwww 2006-09-26

上面我还是有点不明白，N是代表什么？

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weijiangshanwww 2006-09-26

呵呵，谢谢楼上的纠正。我对题目的理解有误！

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mathe 2006-09-26

如果总共需要m个不同元素.
那么
假设有S1个集合使用了第一个元素,S2个集合使用了第二个元素,...,Sm个集合使用了第m个元素.
那么所有使用了第一个元素的集合(共S1个),除了第一个元素以外,没有其他公共元素,所以
S1*3<=m-1
也就是S1<=[(m-1)/3]
同理,S2,...,Sm都满足上面条件
由于S1+S2+...+Sm=4*N
我们可以得到
4*N<=m*[(m-1)/3]
比如N=10
那么
4N<=m*[(m-1)/3]就要求m>=13.

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weijiangshanwww 2006-09-26

如果是13个的话，计算一下，最多只能共享一个元素对吗，如果有四个元素就必须和另外的四个集合共享一个相同的元素（这情况就是点最少的情况）。如果在两个多边形的时候，10个集合，按照BZ说的13个点，每个集合共享出来一个元素，那么至少也要20个。怎么会是13个？

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weijiangshanwww 2006-09-26

我之所以用五边形是因为它刚刚好四个元素完全共享了。新来的点当然只能不被共享任何元素，也就是共享的元素的个数为零的情况了。

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weijiangshanwww 2006-09-26

两个五边形是独立的，已经饱和了，不能在添加新的点！

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galois_godel 2006-09-26

找你的说法，n=10, 两个五边形不是要20个，

应该13个就可以了

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weijiangshanwww 2006-09-26

我的想法是把这个问题转化成几何的问题，在完全连通图形中，五边形的每个顶点都是和另外的四个点共享一条边。这样达到一种饱和状态。
当来了第六个点的时候（也就是第六个集合的时候），该点不能和其他的点有公共边，这样逐个的增加（新来的点和新来的点之间进行边的共享），当有10个点的时候，就刚刚好是两个五边形。而且都能够共享10条边。

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galois_godel 2006-09-25

研究生数模竞赛题，目前比赛还没有结束，比完了再讨论吧

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weijiangshanwww 2006-09-25

N>5 时：(N-N%4)/4*10+（N%4）*4-（N%4）选2的组合数

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weijiangshanwww 2006-09-25

N>5 时(N-N%4)/4 *10+（N%4）*4-（N%4）

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