Python实战：相关性矩阵与组合波动率计算

1. 为什么“相关性矩阵”和“组合波动率”要放在一起算

1.1 相关性矩阵：一眼看穿资产之间的联动关系

相关性矩阵说白了就是一张表格，表格里第 i 行第 j 列的数字，表示第 i 只股票和第 j 只股票的收益率序列之间的相关系数，取值范围在 -1 到 1 之间。1 表示完全同涨同跌，-1 表示完全反向，0 表示没什么线性关系。

为什么不能只看 K 线图的走势来判断？因为两只股票可能都处于上升趋势，但上涨的节奏完全不同：一只提前一周启动，另一只滞后一周才跟涨。这种错位的联动在图上很难量化，但用相关系数一算就非常清楚。相关性矩阵的另一个好处是它可以一次性展示所有两两组合，5 只股票就是 5×5 的矩阵，20 只股票就是 20×20，肉眼扫一遍就能发现哪些资产放在一起是重复持仓。

我自己的习惯是用颜色把矩阵可视化出来，色块越红代表正相关越强，越蓝代表负相关越强，这样哪里存在高相关聚集区一眼就能定位。后面我会给出具体的 seaborn 绘图代码，一步到位。

1.2 组合波动率：为什么不能简单加权平均

很多刚接触组合分析的人会有一个直觉：组合的波动率等于各股票波动率的加权平均。这个直觉是错的，而且错得离谱。

组合方差的计算公式涉及协方差矩阵：

σ²_p = wᵀ Σ w

其中 w 是权重向量，Σ 是资产的协方差矩阵。展开来看，组合方差 = 所有资产方差的加权和 + 所有资产两两之间的协方差加权和。协方差项的存在，意味着即使你对单只股票的波动率控制得很好，如果资产之间高度正相关，组合的整体波动率仍然会居高不下。反过来说，如果找到相关性低甚至为负的资产，就能在不降低预期收益的情况下把波动率压下去——这就是资产配置里常说的“分散化是唯一的免费午餐”背后的数学原理。

1.3 这个项目的核心目标

整个项目可以拆解成四条链路：

数据链路：从公开数据源拉取多只股票的历史行情
预处理链路：把价格序列转成收益率序列，处理停牌、缺失值、不同交易日对齐
计算链路：估计协方差矩阵，归一化得到相关性矩阵，再算组合波动率
应用链路：给定一组权重直接算波动率，或者反过来用优化算法找到最小方差组合

这篇文章的实操部分会完整覆盖这四条链路，代码全部基于 Python 的 pandas、numpy 和 scipy，不需要额外安装复杂的量化框架。

2. 数据准备与预处理的三个关键细节

2.1 数据源选型和代码实现

行情数据我用过 tushare、baostock、akshare、yfinance 这几个库，各自特点不同。tushare 积分门槛对新手不太友好；baostock 免费但接口比较老；akshare 数据源杂、接口多，需要一定筛选能力。

我自己在个人项目里最常用的是 yfinance，主要是简单，不需要注册 token，代码三行就能拉数据：

PYTHON

import yfinance as yf

tickers = ["AAPL", "MSFT", "GOOGL", "AMZN", "TSLA"]

data = yf.download(tickers, start="2021-01-01", end="2023-12-31", auto_adjust=True)

close = data["Close"]

print(close.tail())

这里用 auto_adjust=True 是为了拿到复权后的价格，避免分红拆股导致的价格跳变影响收益率计算。如果是 A 股数据，我会换成 akshare 的接口，逻辑完全一样，只是数据源不同。

2.2 用对数收益率还是简单收益率

计算收益率有两种方式：简单收益率 (P_t - P_{t-1}) / P_{t-1} 和对数收益率 ln(P_t / P_{t-1})。

短线分析我用简单收益率，因为直观；但做相关性分析和波动率建模我几乎总是用对数收益率。原因是两个：

对数收益率在数学上具有时间可加性，一段时间的总对数收益率是每日对数收益率的累加，这在计算多周期波动率时非常方便。
在实际数据中，对数收益率更接近正态分布，这对后续做蒙特卡洛模拟和风险价值（VaR）估算都有好处。

代码实现：

PYTHON

import numpy as np

returns = np.log(close / close.shift(1))

returns = returns.dropna()

注意 dropna() 这一步不能省。第一行因为前一天没有数据，算出来一定是 NaN，如果不删掉，后面计算协方差矩阵时会产生一堆问题。

2.3 交易日对齐与缺失值处理——90% 的坑都在这里

多只股票放在一起计算，最核心的前提是它们在同一个日期上有价格数据。但现实情况是：美股和 A 股假日不同，A 股和港股节假日也常常错开。比如圣诞期间 A 股正常交易而港股休市，如果数据源返回的是自然日索引而不是交易日索引，就会在 DataFrame 里留下 NaN。

处理策略有三种：

直接 dropna()：把任一股票缺失的日期整行删掉。简单干净，但如果数据源覆盖的股票很多，行数会急剧减少，浪费数据。
ffill() 向前填充：用上一交易日的价格填补缺失值。适合处理停牌情况，但要注意停牌太久会失真。
用 inner 合并日期索引：只保留所有股票都有数据的交易日的并集。

我更推荐最后一种思路，配合 reindex() 把索引统一到共同交易日的并集上，然后按需填充。代码长这样：

PYTHON

common_index = close.dropna().index

close = close.reindex(common_index)

如果某只股票停牌导致中间一大段都缺失，那基本没法救，要么剔除这只股票，要么用插值强行填充但心里要有数：结果只能参考，不能当精确结论。

3. 核心实现：从协方差矩阵到相关性矩阵再到组合波动率

3.1 相关性矩阵计算：教科书公式的直接实现

有了收益率序列，计算协方差矩阵和相关性矩阵就是几行代码的事：

PYTHON

cov_matrix = returns.cov()

corr_matrix = returns.corr()

print(corr_matrix)

pandas 的 corr() 默认计算 Pearson 相关系数，公式是：

ρ_ij = Cov(R_i, R_j) / (σ_i × σ_j)

如果想让计算过程透明一点，也可以手动算相关矩阵，先对收益率做标准化，再求标准化数据的协方差：

PYTHON

scaled = (returns - returns.mean()) / returns.std()

corr_matrix_manual = scaled.cov()

这个技巧在做滚动相关性窗口的时候特别有用，因为可以复用底层矩阵运算，效率高很多。

可视化代码：

PYTHON

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns

plt.figure(figsize=(8, 6))

sns.heatmap(corr_matrix, annot=True, fmt=".2f", cmap="RdBu_r", center=0)

plt.title("Stock Correlation Matrix")

plt.show()

annot=True 会在格子里标出数值，矩阵规模在 6×6 以内时建议打开，超过 10 只股票就别标了，全是数字根本看不清，用颜色深浅就够了。

3.2 组合波动率的解析解：权重向量 × 协方差矩阵 × 权重向量

假设手头有 5 只股票，权重向量为 w = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]，组合方差就是：

σ²_p = wᵀ Σ w

代码实现：

PYTHON

weights = np.array([0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2])

portfolio_var = weights @ cov_matrix @ weights

portfolio_vol = np.sqrt(portfolio_var)

print(f"组合年化波动率: {portfolio_vol * np.sqrt(252):.4f}")

这里乘 sqrt(252) 是因为我们用的是日收益率数据，一年大约有 252 个交易日，日波动率年化要乘以交易日数量的平方根。为什么是开方而不是直接乘 252？因为方差具有时间可加性，日方差加起来就是年方差，所以年波动率 = sqrt(252 × 日方差) = sqrt(252) × 日波动率。

用 @ 符号做矩阵乘法是 numpy 的写法，等价于 np.dot(weights.T, np.dot(cov_matrix, weights))，但可读性更高。我自己在代码里更习惯用 @，一目了然。

3.3 最小方差组合：让权重自己从数据里“长”出来

给定一组权重能算波动率，但更实际的需求是：我不想凭感觉定权重，想让 Python 直接算出“波动率最小”的那组权重应该是什么。

这是一个带约束的优化问题：目标函数是最小化 wᵀ Σ w，约束条件是所有权重之和等于 1。scipy 的 minimize 函数可以直接解：

PYTHON

from scipy.optimize import minimize

def portfolio_vol(weights):

return np.sqrt(weights @ cov_matrix @ weights)

def constraint_sum(weights):

return np.sum(weights) - 1

cons = {"type": "eq", "fun": constraint_sum}

bounds = [(0, 1) for _ in range(len(tickers))]

init_weights = np.ones(len(tickers)) / len(tickers)

result = minimize(portfolio_vol, init_weights, bounds=bounds, constraints=cons)

min_var_weights = result.x

print("最小方差组合权重：")

for t, w in zip(tickers, min_var_weights):

print(f"{t}: {w:.2%}")

这里我给权重加了一个 0 到 1 的边界约束，也就是不允许做空。如果想允许做空，把 bounds 删掉即可。最小方差组合是 Markowitz 均值-方差框架里最基础的一个应用——不猜预期收益，只追求风险最低，实际操作中比“最大化夏普比率”要稳健得多，因为预期收益的估计误差通常远大于协方差矩阵的估计误差。

3.4 蒙特卡洛模拟：用随机权重试出可行域边界

除了解析解法，还可以用蒙特卡洛模拟生成大量随机权重组合，把这些组合的风险和收益画在散点图上，会得到一张经典的“可行域”图。每个点代表一个可能的投资组合，横轴是波动率，纵轴是期望收益，散点图的最左侧边界就是有效前沿。

PYTHON

n_sim = 50000

results = np.zeros((n_sim, 2))

weight_records = []

rng = np.random.default_rng(42)

for i in range(n_sim):

w = rng.random(len(tickers))

w = w / w.sum()

ret = np.sum(returns.mean() * w) * 252

vol = np.sqrt(w @ cov_matrix @ w * 252)

results[i, 0] = vol

results[i, 1] = ret

weight_records.append(w)

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.scatter(results[:, 0], results[:, 1], c=results[:, 1] / results[:, 0], cmap="viridis", s=5)

plt.colorbar(label="Sharpe Ratio")

plt.xlabel("Annualized Volatility")

plt.ylabel("Annualized Return")

plt.scatter(np.sqrt(min_var_weights @ cov_matrix @ min_var_weights * 252),

np.sum(returns.mean() * min_var_weights) * 252,

color="red", marker="*", s=300, label="Min Variance")

plt.legend()

plt.show()

模拟的次数我设了 5 万次，在个人电脑上一两秒就能跑完。为什么不用解析方法直接画有效前沿？因为模拟散点图能直观展示“不同权重下风险和收益的分布范围”，对理解组合分散化的本质特别有帮助——你会看到散点图是一团向左凸出的弧形，而不是一个圆形或者矩形区域，这就是分散化带来的“福利”。

4. 进阶内容：样本协方差的局限与更稳健的估计方法

4.1 为什么直接用样本相关系数会翻车

如果上面这套代码拿去做真实投资决策，你会发现一个尴尬的问题：用历史数据算出来的相关性矩阵并不稳定，往往过了一个季度，原本看起来不相关的两只股票突然变得高度相关，或者在市场大跌时几乎所有股票的相关性同时飙高。

这不是代码的问题，而是样本协方差估计本身的局限。样本协方差矩阵是用有限的历史数据估算的，当股票数量 N 相对样本天数 T 较大时，估计误差会很大——极端情况下 N > T，样本协方差矩阵甚至可能是奇异的，根本没法求逆，更别说做矩阵分解。

这就解释了为什么行业内会使用结构性估计方法，比如收缩估计（Shrinkage）和因子模型。Ledoit-Wolf 收缩估计的思路很简单：把样本协方差矩阵向单位矩阵方向“拉”一点。因为单位矩阵是理想化的“所有资产不相关”状态，通过混合系数来平衡样本信息与结构化先验，能在估计误差和偏差之间取得更好的折中。

4.2 指数加权协方差与动态相关性

另一个常用的改进是给历史数据设置衰减权重——时间越近的收益率对当前协方差估计的影响越大。这就是 RiskMetrics 里的 EWMA 模型，只需要一个衰减参数 λ（通常取 0.94），计算极其轻量，却能在市场波动聚集的时期快速反应。

代码实现：

PYTHON

def ewma_cov(returns, lam=0.94):

cov = np.zeros((returns.shape[1], returns.shape[1]))

scale = 1 - lam

for i, r in enumerate(returns.values):

cov = lam * cov + scale * np.outer(r, r)

return cov

这个模型背后的直觉是：金融数据有波动聚集现象，最近一段时间的相关性比半年前的相关性更贴近当前的联动状态。对日频数据，我习惯把 λ 设成 0.94——这也是 RiskMetrics 的标准参数。如果要更精细，可以用极大似然去估计 λ，但对大多数组合分析场景，0.94 已经足够好。

4.3 用相关性矩阵做层次聚类：找出真正独立的资产

相关性矩阵除了用来算组合波动率，还有一个非常实用的场景：资产聚类。如果矩阵里有一组股票两两相关性都在 0.8 以上，说明它们基本在重复暴露于同一个风险源，配置再多也起不到分散作用。

用 scipy 对相关性矩阵做层次聚类只需要几行代码：

PYTHON

from scipy.cluster.hierarchy import linkage, dendrogram, fcluster

dist_matrix = 1 - corr_matrix.abs()

condensed = dist_matrix.values[np.triu_indices_from(dist_matrix.values, k=1)]

link = linkage(condensed, method="ward")

plt.figure(figsize=(10, 5))

dendrogram(link, labels=corr_matrix.columns)

plt.title("Hierarchical Clustering of Stocks")

plt.show()

groups = fcluster(link, t=1.5, criterion="distance")

for g in np.unique(groups):

print(f"Cluster {g}: {list(corr_matrix.columns[groups == g])}")

距离矩阵我取的是 1 - |相关系数|，这样相关性越高的股票距离越小，聚成一类。这个办法在股池筛选阶段特别有用——从全市场几千只股票里先按行业聚类，再从每个类别中挑一两只，能保证组合的分散度。

要提醒的是，层次聚类对输入特征比较敏感。如果你用不同时间窗口的数据，聚类结果可能会有差异，建议同时跑 60 天、120 天、250 天三个窗口，取结果中反复出现的分组作为稳定分组。

5. 常见问题与排查技巧实录

5.1 相关系数矩阵出现 NaN 或者其他非数值项

这个问题十有八九是原始价格序列里有缺失值。有几种可能：

新股上市时间短，数据长度不足
停牌时间过长，导致某段时间完全没有交易记录
数据源返回的价格是字符串格式，算收益率时转类型失败

排查方法：先对原始价格序列做 isna().sum() 统计，找出缺失严重的列；再看日期索引是否对齐。如果只有零星缺失，可以用 ffill() 填充；如果缺失比例超过 20%，我个人建议直接把这只股票从样本里剔除，因为填充出来的数据对相关性的影响已经不可控了。

5.2 计算出来的相关性都是 1 或者接近 1

当出现所有相关系数都几乎等于 1 时，大概率是价格序列没有做复权处理，且数据窗口内发生过大比例分红或拆股。特别是拆股，价格会瞬间变成原来的几分之一，如果不复权，收益率序列会出现一个离谱的异常值，把所有相关系数都拉向 1。

解决办法是重新拉取复权后的价格数据。yfinance 的 auto_adjust=True 参数就是干这个的。如果用的是国产数据源，一般会有一个 adjust="qfq" 或者类似的参数勾选前复权。

5.3 组合波动率算出来比单只股票还小，是不是算错了

没算错，这就是分散化的效果。如果两只股票相关系数小于 1，组合波动率一定小于单只股票波动率的加权平均。相关系数越低，降低效果越明显。很多第一次接触组合分析的人看到这个结果会怀疑代码写错了，其实恰恰是代码写对了。

不过要留意一个例外：如果相关系数小于 1 是因为数据窗口太短导致估计不准，那这个“分散化收益”很可能是虚假的。实际应用中，我一般会要求至少 1 年的日频数据，也就是大约 250 个交易日以上，才会把协方差矩阵用于组合优化。

5.4 权重优化结果不稳定——每次调数据窗口权重都大变

这个属于组合优化的经典问题：样本协方差矩阵的估计误差被优化器捕捉并放大了。稍微改变数据窗口，权重就出现很大变化。

解药有三个：

增加约束条件。比如限制单只股票最大权重不超过 20%，这会显著缩小优化器的搜索空间。
换成前面说的 Ledoit-Wolf 收缩估计或者 EWMA 协方差，降低协方差矩阵对最近一段时间的敏感度。
减少资产数量。股票池越小，协方差矩阵要估计的参数就越少，结果越稳定。10 只以内的股票组合不需要太花哨的估计方法，直接用样本协方差就有不错的稳定性。

5.5 一个必须注意的“未来函数”问题

计算滚动相关性或者滚动波动率时，每一步只能用到当前时刻已经发生的数据。如果你用了整个样本区间来估计协方差，再去做历史回测，那就是一种前视偏差——相当于考试的时候先看了答案再做题，结果会乐观得不真实。

正确的做法是用 expanding() 或 rolling() 窗口：

PYTHON

rolling_corr = returns["AAPL"].rolling(60).corr(returns["MSFT"])

每次计算只使用过去 60 个交易日的收益数据，不带未来信息。这一点在做任何策略验证时都要绷紧一根弦。

6. 一套可以直接上手的完整示例代码

最后给一个完整的示例代码，从拉数据到算组合波动率，你可以直接复制到 Jupyter Notebook 或者 VS Code 里跑通，再根据自己的股票池修改参数。

PYTHON

import numpy as np

import pandas as pd

import yfinance as yf

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns

from scipy.optimize import minimize

tickers = ["AAPL", "MSFT", "GOOGL", "AMZN", "META"]

start = "2022-01-01"

end = "2024-12-31"

data = yf.download(tickers, start=start, end=end, auto_adjust=True)

close = data["Close"].dropna()

returns = np.log(close / close.shift(1)).dropna()

cov_matrix = returns.cov() * 252

corr_matrix = returns.corr()

plt.figure(figsize=(8, 6))

sns.heatmap(corr_matrix, annot=True, fmt=".2f", cmap="RdBu_r", center=0)

plt.title("Correlation Matrix (Daily Returns)")

plt.show()

weights = np.ones(len(tickers)) / len(tickers)

portfolio_vol = np.sqrt(weights @ cov_matrix @ weights)

print(f"等权重组合年化波动率: {portfolio_vol:.4f}")

def port_vol(w):

return np.sqrt(w @ cov_matrix @ w)

cons = {"type": "eq", "fun": lambda w: np.sum(w) - 1}

bounds = [(0, 1)] * len(tickers)

res = minimize(port_vol, weights, bounds=bounds, constraints=cons)

print("最小方差组合权重：")

for t, w in zip(tickers, res.x):

print(f"{t}: {w:.2%}")

print(f"最小方差组合年化波动率: {res.fun:.4f}")

这段代码里我把协方差矩阵直接年化了，也就是算日协方差矩阵后乘 252，这样后续组合波动率就不需要再额外乘 sqrt(252)。为什么可以这样操作？因为协方差矩阵呈线性性质，乘以时间长度就是年化协方差，取平方根后自然得到年化波动率。

跑完这段代码以后，你还可以做两件事：把股票池替换成不同行业的股票，对比相关性和组合波动率的变化；或者把权重改成自己实际的持仓比例，看看当前组合的风险暴露到底有多大。

我在实际使用中还有一个习惯是：拿到相关性矩阵以后先不要急着做优化，先扫一眼有没有大于 0.9 的配对。如果有，这两只股票大概率属于同一行业或者同一风格因子，权重优化出来的结果会把它们当作一个资产处理。做好这一步检查，再跑最小方差优化，得到的权重才是有意义的。