从欧氏空间到流形：基于Busemann函数的Horospherical深度理论与应用

1. 项目概述：从欧氏空间的经典深度到流形上的内在几何

在多元统计分析里，我们常常需要回答一个看似简单却至关重要的问题：对于一个数据集，哪个点最能代表它的“中心”？在欧几里得空间里，Tukey深度（也叫半空间深度）提供了一个极其优雅的答案。它不依赖于任何参数假设，通过计算一个点被所有可能的半空间“包围”的最小概率来定义其深度。深度最大的点，即Tukey中位数，不仅是一个稳健的位置估计，还天然地提供了一种从中心向外排序数据的方式，以及一系列嵌套的凸深度轮廓。这套理论之所以强大，是因为它将数据的排序、几何结构和鲁棒性完美地封装在了一起。

然而，现实世界的数据并不总是乖乖地待在平坦的欧氏空间里。想象一下，你处理的是一组扩散张量成像数据（每个点是一个对称正定矩阵），或者是用于表示层次结构的双曲空间中的嵌入点，甚至是系统发育树空间中的树形结构。这些数据点天然地生活在弯曲的“流形”上。在这些空间里，直线（测地线）不再是通常意义上的直线，而“半空间”这个在欧氏空间中由线性不等式定义的简单概念，也失去了其内在的几何意义。如果我们生搬硬套欧氏空间的方法，就会破坏数据本身的几何结构，得到的“中心”可能毫无意义。

这就引出了本文的核心工作：如何在保持Tukey深度所有优良性质的前提下，将其推广到弯曲的空间？我们选择了一个特别适合的舞台：Hadamard流形。这类流形具有非正曲率，保证了任意两点间存在唯一的测地线，并且保持了“凸性”这一关键几何概念。我们的解决方案是引入Horospherical深度。其核心思想是用Busemann函数和其水平集——horosphere（极限球面）——来替代欧氏空间中的线性泛函和超平面。简单来说，在欧氏空间中，一个方向u定义的半空间是{x: ⟨u, x⟩ ≤ ⟨u, z⟩}；在Hadamard流形上，我们用一个“指向无穷远点ξ”的Busemann函数Bξ(x)来替代内积⟨u, x⟩，从而定义内在的“半空间”{x: Bξ(x) ≥ Bξ(z)}。这个构造不仅是几何自然的（它是距离函数沿测地线射线趋于无穷的极限），而且自动继承了horoball（horosphere所围区域）的测地凸性。

因此，Horospherical深度不仅仅是一个数学上的类比，它是在弯曲几何下，对“中心性”和“排序”概念的真正内在重构。它保持了Tukey深度的灵魂：等距不变性、在对称中心处取最大值、从最深点出发的单调性、以及在无穷远处消失。更重要的是，我们证明了在任意d维Hadamard流形上，对于任何Borel概率测度，都存在深度至少为1/(d+1)的点（中心点定理），这直接推广了欧氏空间的经典结果。在曲率为负的条件下，深度函数甚至是严格拟凹的，从而保证了Busemann中位数的唯一性。这套理论为流形数据的非参数、稳健统计分析提供了一个坚实而富有几何直观的新框架。

2. 核心思路拆解：为什么是Busemann函数和Horosphere？

要理解Horospherical深度，我们必须先跳出欧氏空间的线性思维，进入弯曲几何的语境。关键在于找到欧氏空间中“方向”和“半空间”在流形上的正确对应物。

2.1 欧氏空间的启示：半空间的另一种解读

在R^d中，Tukey深度定义为： D_T(z; P) = inf_{u∈S^{d-1}} P( {x: ⟨u, x⟩ ≤ ⟨u, z⟩} ) 这里，每个单位向量u定义了一个线性函数f_u(x) = ⟨u, x⟩，其水平集是超平面，子水平集就是半空间。

我们可以从距离的角度重新审视这个线性函数。固定一个方向u，考虑从原点出发沿u的射线γ(t) = t u。计算点x到γ(t)的距离： d(x, γ(t)) = ||t u - x|| = t - ⟨u, x⟩ + o(1) （当 t → ∞） 你会发现，当t趋于无穷时，d(x, γ(t)) - t的极限恰好是-⟨u, x⟩。也就是说，线性函数⟨u, x⟩可以理解为“沿某方向逃逸到无穷远时，距离函数的某种正则化极限”。这个观察是通往流形推广的钥匙。

2.2 流形上的对应物：视觉边界与Busemann函数

在Hadamard流形X上，没有全局的线性结构，但我们有测地线。一个“方向”在无穷远处的终点，被称为一个“边界点”，所有边界点的集合构成视觉边界 ∂X。这替代了欧氏空间中的单位球面S^{d-1}。

对于从某点p出发、指向边界点ξ的测地线射线γ，我们模仿上面的极限过程，定义Busemann函数： B_ξ(x) = lim_{t→∞} [ d(γ(t), x) - t ] 这个极限在Hadamard流形上总是存在的。直观上，B_ξ(x)衡量了从x“看向”无穷远点ξ时的某种“对齐”程度。如果x在指向ξ的射线上，B_ξ值会线性递减；如果x偏离了该方向，B_ξ值会更大。

Busemann函数的几个关键几何性质：

1. 平移不变性：如果改变定义中射线γ的起点，B_ξ只会相差一个常数（该常数等于新旧起点之间B_ξ值的差）。这意味着由B_ξ(x) ≥ B_ξ(z)定义的集合是内在的，不依赖于基点的选择。
2. 凸性与Lipschitz连续性：B_ξ是1-Lipschitz的测地凸函数。其梯度模长恒为1，方向正好指向-ξ（即与指向ξ的射线相切的方向相反）。
3. 水平集的结构：B_ξ(x) = t的集合称为horosphere（极限球面），可以想象为以无穷远点ξ为“圆心”的球面。B_ξ(x) ≤ t的集合称为horoball（极限球），它是测地凸的。这正是我们寻找的“弯曲的半空间”。

2.3 Horospherical深度的定义与单边选择的智慧

基于以上，Horospherical深度的定义就水到渠成了： D(z; P) = inf_{ξ ∈ ∂X} P( {x: B_ξ(x) ≥ B_ξ(z)} ) 对于每个边界方向ξ，我们考虑那个以z所在的horosphere为边界的、指向ξ的horoball（即B_ξ(x) ≥ B_ξ(z)的区域），并计算数据落在这个区域内的概率。然后对所有可能的方向ξ取下确界。深度最大的点集就是Busemann中位数。

这里有一个精妙之处：为什么我们使用单边定义P(H^+_{ξ,z})，而不是看起来更对称的min{P(H^+_{ξ,z}), P(H^-_{ξ,z})}？在欧氏空间，由于H^+_{u,z}和H^-_{-u,z}是同一个半空间，两者等价。但在弯曲空间，对于给定的ξ，通常不存在一个相反的边界点η使得H^+_{ξ,z} = H^-_{η,z}对所有z成立。只有当流形截面曲率为零（即平坦）时，这才可能。因此，采用双边定义会破坏深度的内在几何性质，导致深度区域不再是horoball的交集，从而失去凸性。单边定义虽然形式上不对称，但通过对所有ξ取inf，它自然地让相反方向相互竞争，同时保留了horoball交集的优美结构，这是后续所有凸性理论的基础。

2.4 深度区域的凸性表示定理

这是整个理论的基石。定义每个边界方向ξ上Busemann投影的生存函数S_ξ(t) = P({x: B_ξ(x) ≥ t})及其上分位数t_ξ(α) = sup{t: S_ξ(t) ≥ α}。那么，深度区域可以表示为： D_α(P) = {z: D(z; P) ≥ α} = ∩_{ξ∈∂X} {z: B_ξ(z) ≤ t_ξ(α)} = ∩_{ξ∈∂X} H_ξ(t_ξ(α)) 这个表示是革命性的。它告诉我们，α-深度区域就是所有horoball H_ξ(t_ξ(α))的交集。由于每个horoball都是测地凸的，而凸集的交集仍是凸的，因此每一个深度区域D_α(P)都是测地凸集。这完美复现了Tukey深度区域在欧氏空间中是凸多面体（半空间交集）的这一核心几何特征。

3. 理论支柱：性质、存在性与中心点定理

定义了深度函数之后，我们需要验证它是否具备一个优秀深度函数应有的基本性质，并证明其最深点（中位数）总是存在的。

3.1 四大核心公理的满足情况

我们参照欧氏空间深度函数的公理框架，逐一检验：

1. 等距不变性：这是内在性的直接体现。设φ: X → X是X上的一个等距映射。因为等距映射将测地线映为测地线，从而保持视觉边界∂X和Busemann函数（至多差一个常数），所以有D(φ(z); φ_#P) = D(z; P)。这意味着整个深度景观（深度函数、深度区域、中位数）都会随着流形的等距变换而协变。在欧氏空间，这对应于仿射不变性；在这里，对称群变成了流形本身的等距群。

2. 在对称中心处取最大值：我们需要定义流形上的“对称”。有两种自然的定义：

   • 中心对称：关于点θ的测地对称（即沿测地线反射）保持测度P不变。
   • Horospherical对称：对于所有边界方向ξ，都有P(H^+_{ξ,θ}) ≥ 1/2。 可以证明，中心对称蕴含horospherical对称。如果P关于唯一的点θ是horospherical对称的，那么θ就是深度的唯一最大值点，即µ*(P) = {θ}。这符合直觉：如果一个点从所有“方向”看，都至少有半数数据在其“前方”，那它自然是中心。

3. 在无穷远处消失：可以证明，当点z远离原点（即d(o, z) → ∞）时，其深度D(z; P) → 0。这意味着深度函数确实能将中心点与外围点区分开来，最深点必然位于空间的某个有界区域内。

4. 从最深点出发的单调性：设z*是一个最深点，z是任意点，γ是连接z*到z的测地线段。那么对于线段上任意点γ(t)，其深度不小于z的深度，即D(γ(t); P) ≥ D(z; P)。深度沿着从最深点出发的射线非递增。在负曲率条件下，这个性质可以加强为严格拟凹性。

3.2 存在性与中心点定理：确保深度非平凡

仅仅有定义和性质还不够，我们必须确保对于任意概率测度P，深度函数确实能给出一个有意义的“中心”。这里的关键是中心点定理。

定理：设X是d维Hadamard流形，P是其上的Borel概率测度。则存在点z* ∈ X，使得D(z*; P) ≥ 1/(d+1)。

这个定理是Tukey深度经典结论在流形上的直接推广。其证明思路精巧地结合了几何与概率：

1. 正则化：首先用热核光滑化测度P，得到一系列绝对连续于体积元的测度P_h，且P_h弱收敛于P。
2. 切空间投影：对于光滑后的测度P_h，在每一点z，我们可以考虑切空间T_zX中的“半空间”。Rusciano的切空间深度中心点定理保证，存在点z_h，使得任何切空间半空间都包含至少1/(d+1)的P_h质量。
3. 与Horospherical深度关联：关键的一步是，利用Busemann函数的凸性，可以证明在点z_h处，任何切空间半空间都包含在某个horospherical半空间H^+_{ξ, z_h}中。因此，z_h的Horospherical深度也至少为1/(d+1)。
4. 取极限：由于(P_h)是紧的，点列{z_h}不会逃逸到无穷远。取其收敛子列，利用深度函数的联合上半连续性，即得到极限点z*满足D(z*; P) ≥ 1/(d+1)。

这个定理有多个重要推论：

• Busemann中位数非空：深度最大值D*(P) ≥ 1/(d+1) > 0，结合深度函数的上半连续性和在无穷远处消失的性质，可以证明最大值点集µ*(P)是非空紧集。
• 深度区域的结构：对于任意α > 0，深度区域D_α(P)是测地凸的紧集。对于0 < α ≤ 1/(d+1)，D_α(P)非空。如果深度函数连续，那么对于0 < α < D*(P)，D_α(P)同胚于一个d维拓扑球。

至此，我们建立了一个完整的理论框架：Horospherical深度在任意Hadamard流形上定义良好，满足核心公理，其深度区域是凸的、嵌套的紧集，并且总是存在深度至少为1/(d+1)的“中心点”。然而，最深区域µ*(P)可能是一个点，也可能是一个具有正直径的凸集。为了得到唯一的中位数，我们需要更严格的几何条件。

4. 严格负曲率下的强化理论：唯一性与鲁棒性

在截面曲率严格为负（Sec_X < 0）的Hadamard流形上，几何结构本身提供了更强的约束，可以迫使深度函数呈现更“尖锐”的形态，从而保证中位数的唯一性。

4.1 Busemann函数的严格凸性与深度严格拟凹性

在负曲率下，Busemann函数沿着不与自身渐近的测地线是严格凸的。具体来说：

• 设γ是一条完备测地线，其两个端点为ξ+和ξ-。
• 对于任意边界点ξ，如果ξ既不是ξ+也不是ξ-，那么复合函数B_ξ ◦ γ在R上是严格凸的。
• 只有当ξ是γ的端点时，B_ξ ◦ γ才是仿射的（斜率为±1）。

这个性质是负曲率的直接结果。它意味着，除了沿着指向horosphere“圆心”ξ或完全相反方向的测地线，Busemann函数在其他任何测地线上都是弯曲的。由此可以推出，在负曲率下，每个horoball H_ξ(t)都是严格测地凸的：连接其中任意两点的测地线，其内部完全落在horoball的内部。

为了将几何的严格凸性转化为深度函数的严格拟凹性，我们需要两个关于测度P的温和正则性假设：

• 假设1：对于所有ξ ∈ ∂X和t ∈ R，有P({x: B_ξ(x) = t}) = 0。即每个Busemann投影(B_ξ)_#P都是无原子的。一个充分的条件是P关于体积元绝对连续。
• 假设2：对于所有ξ ∈ ∂X，投影测度(B_ξ)_#P的支撑集是R中的一个区间。这要求P的支撑集是连通的。

在这些假设和负曲率条件下，我们可以证明深度函数D(·; P)在正深度区域上是严格拟凹的：对于任意两个深度为正且不同的点x和y，以及连接它们的测地线段γ上的任意内点s ∈ (0,1)，都有D(γ(s); P) > min{D(x; P), D(y; P)}。

严格拟凹性的直接推论就是唯一性：最深点集µ*(P)是一个单点集。也就是说，Busemann中位数是唯一的。这是一个比欧氏空间更强的结论。在欧氏空间中，Tukey中位数的唯一性通常需要测度绝对连续且支撑集为凸等额外条件。而在负曲率流形上，几何的刚性（horoball的严格凸性）直接贡献了严格性，我们只需要对一维投影测度施加相对较弱的正则性条件。

4.2 鲁棒性分析：对污染数据的稳健响应

深度函数的一个核心优势是鲁棒性。我们主要从两个角度分析Horospherical深度的鲁棒性：全变差扰动和污染点逃逸至无穷远（视觉边界）。

全变差稳定性：在唯一性成立的条件下（负曲率+假设1&2），Busemann中位数作为P的函数，关于全变差距离是连续的。存在一个模函数ω(η)，满足ω(η) → 0 (η → 0)，使得对于任意Borel概率测度Q，有： sup_{z ∈ µ*(Q)} d(z, µ*(P)) ≤ ω( ||P - Q||_{TV} ) 这意味着，当污染测度Q与真实测度P相差很小时，其中位数也不会偏离太远。

边界污染分析：这是一个特别有趣且能体现几何特性的场景。考虑一个污染模型P_ε = (1-ε)P + εδ_y，其中污染点y沿着某条测地线射线逃逸至无穷远（即d(o, y) → ∞）。我们关心当y逃逸时，深度函数D(z; P_ε)和中位数µ*(P_ε)的极限行为。

分析表明，深度函数会逐点收敛到一个明确的极限函数D_∞(z; P)，该极限由污染点逃逸的方向ξ决定。更关键的是，如果极限深度函数D_∞(·; P)在某个水平ε之上有唯一的最大值点，那么污染后的中位数µ*(P_ε)会收敛到该最大值点。这与基于距离的估计量（如Frèchet均值）形成鲜明对比：Frèchet均值会被逃逸的污染点“拉向”边界。这从理论上印证了深度中位数对离群值的更强抵抗力。

实操心得与注意事项：

• 唯一性的前提：唯一性严重依赖于负曲率。在具有平坦因子（零曲率子空间）的乘积流形（如S^+_p在仿射不变度量下）中，唯一性可能不成立，中位数可能是一个集合。在应用时，需要先判断流形的曲率性质。
• 样本中位数的非唯一性：即使总体中位数唯一，对于有限样本的经验测度P_n，假设1（无原子性）几乎必然不成立。因此，样本Busemann中位数µ*(P_n)通常是一个具有正直径的凸集，而非单点。这并非缺陷，而是非参数深度估计的共性。在实践中，我们可以取该集合的某种中心（如重心）作为代表，或者直接报告整个集合。
• 边界方向的选取与计算：理论要求对所有边界方向ξ ∈ ∂X取inf，这在计算上是不可行的。在实际算法中，必须对边界方向进行离散化采样。如何有效采样∂X（在双曲空间是球面，在SPD流形则更复杂）是一个重要的计算问题。

5. 统计理论：样本深度的一致收敛性

任何统计理论最终都需要落实到样本推断上。设X_1, ..., X_n是来自总体P的独立同分布样本，P_n为相应的经验测度。我们定义样本Horospherical深度为D_n(z) := D(z; P_n)。一个核心问题是：D_n(z)是否一致地收敛到总体深度D(z; P)？

答案是肯定的，但证明策略因流形结构而异。

5.1 对称空间情形：VC理论的应用

在非紧型对称空间（如双曲空间H^d、对称正定矩阵流形S^+_p等）上，我们可以利用Vapnik-Chervonenkis（VC）理论。关键在于证明，由集合{H^+_{ξ,z}: ξ ∈ ∂X, z ∈ X}构成的函数类是VC类。这意味着该集合类具有有限的VC维数。

一旦证明了VC性质，标准的一致性定理（如Glivenko-Cantelli定理的泛函形式）就能保证： sup_{z∈X} |D_n(z) - D(z; P)| → 0 几乎必然成立。 此外，我们还能得到深度区域Hausdorff收敛的结论：对于满足P({z: D(z; P) = α}) = 0的α，有D_α(P_n)在Hausdorff距离下收敛到D_α(P)。如果总体中位数唯一，样本中位数集µ*(P_n)也会Hausdorff收敛到{µ*(P)}。

5.2 一般Hadamard流形情形：紧致性与连续性论证

对于一般的Hadamard流形，视觉边界∂X在锥拓扑下是紧的，且Busemann函数(ξ, x) ↦ B_ξ(x)是连续的。在总体测度P满足假设1（所有Busemann投影无原子）的条件下，我们可以绕过VC理论，直接利用紧致性和连续性，证明样本深度的一致强相合性。

定理：设X为Hadamard流形，P满足假设1。则 sup_{z∈K} |D_n(z) - D(z; P)| → 0 几乎必然成立， 其中K是X的任意紧子集。如果P的支撑集包含在某个紧集内，则一致收敛在整个X上成立。

这些一致性结果为基于Horospherical深度的推断（如构造深度轮廓图、进行异常值检测）提供了理论保障。

6. 实例与计算构造

理论需要实例来具象化。我们考虑两个最重要的Hadamard流形例子：双曲空间和对称正定矩阵流形。

6.1 双曲空间 H^d

在庞加莱球模型下，H^d可视为单位球内部。视觉边界∂H^d等同于单位球面S^{d-1}。对于从原点o指向ξ ∈ S^{d-1}的测地线射线，其Busemann函数有显式表达式： B_ξ(x) = log( ||x - ξ||^2 ) - log( 1 - ||x||^2 ) 其中||·||是欧氏范数。此时，horosphere {x: B_ξ(x) = c}是一个在边界点ξ处与单位球面内切的欧氏球面。

计算步骤示例：

1. 离散化边界：在S^{d-1}上生成一组均匀或拟均匀的点集{ξ_1, ..., ξ_m}作为边界方向的近似。
2. 计算样本深度：对于待评估点z和每个方向ξ_i，计算B_{ξ_i}(X_j)和B_{ξ_i}(z)，统计满足B_{ξ_i}(X_j) ≥ B_{ξ_i}(z)的样本比例P_n(H^+_{ξ_i, z})。
3. 取最小值：D_n(z) = min_{i=1,...,m} P_n(H^+_{ξ_i, z})。
4. 寻找中位数：通过优化算法（如梯度下降、随机搜索）在H^d上寻找最大化D_n(z)的点或区域。

由于H^d的负曲率性质，在总体测度绝对连续且支撑连通时，Busemann中位数理论上是唯一的。样本中位数集可能是一个小区域，可以用其重心作为点估计。

6.2 对称正定矩阵流形 S^+_p

S^+_p在仿射不变度量下是一个Hadamard流形。其视觉边界∂S^+_p可以理解为“退化矩阵射线”的集合，结构比球面复杂。Busemann函数的计算也更为复杂，通常涉及矩阵对数和特征值。

一个实用的简化方法是利用对称空间的结构。S^+_p是一个非紧型黎曼对称空间，其视觉边界可以与一个紧齐性空间（一个旗流形）等同。我们可以在这个旗流形上采样方向ξ。

对于给定的方向ξ（对应于一个“极大抛物子群”或一个“边界点”），Busemann函数可以表示为： B_ξ(Σ) = tr( Λ * log( U^T Σ U ) ) 其中U是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，它们共同参数化了方向ξ。具体形式依赖于ξ的选取。

计算挑战与策略：

1. 边界参数化：高效参数化和采样∂S^+_p是一个前沿课题。一种方法是利用KAK分解（Cartan分解），在极大阿贝尔子代数上定义方向。
2. 函数求值：计算B_ξ(Σ)涉及矩阵对数和特征值分解，对于大的p计算量较大。
3. 优化：在S^+_p上优化深度函数D_n(z)是非凸优化问题。可以利用流形优化工具包（如Manopt），结合深度函数的上半连续性和区域凸性，设计有效的搜索算法。

注意事项：

• S^+_p的截面曲率非正但不一定严格为负，它包含平坦子空间（对应于交换的矩阵子集）。因此，唯一性定理不一定适用，Busemann中位数可能是一个非单点集。这在解释结果时需要特别注意。
• 在实际计算中，由于只能采样有限个方向，计算出的深度是真实深度的上界。需要研究离散化方向数m与深度估计精度之间的关系。

7. 总结、比较与未来方向

Horospherical深度成功地将Tukey深度的核心思想移植到了Hadamard流形上。其成功的关键在于用Busemann函数和horosphere这一对几何对象，精准地捕捉了“方向”和“半空间”在弯曲空间中的内在类比。

7.1 与现有流形深度方法的比较

• 与度量半空间深度的比较：度量半空间深度D_M(z; P) = inf_{y≠z} P({x: d(x,z) ≤ d(x,y)})仅依赖于距离，具有等距不变性，适用范围更广（任何度量空间）。但其深度区域不一定凸，也缺乏中心点定理。Horospherical深度牺牲了部分通用性，换来了更丰富的欧氏深度几何结构（凸性、中心点定理）。
• 与切空间深度的比较：切空间深度将数据投影到某点切空间，然后在切空间中应用欧氏深度。它依赖于基点的选择，不是完全内在的。Horospherical深度是彻底内在的，不引入外部坐标系。
• 与透镜深度的比较：透镜深度基于度量球，虽然能定义中心性，但完全丢失了“半空间”的几何，其深度区域没有凸性。

因此，Horospherical深度在“保留经典深度几何结构”和“保持内在性”之间取得了最佳平衡。

7.2 局限性与开放问题

1. 计算复杂度：需要对高维视觉边界进行采样，并对每个方向计算Busemann函数，计算成本高昂。发展高效的离散化方案和优化算法是实际应用的关键。
2. 超越光滑流形：理论建立在Hadamard流形（光滑、非正曲率）上。一个重要的扩展方向是奇异的CAT(0)空间，例如系统发育树空间。在这些空间上，Busemann函数和horosphere仍有定义，但光滑性缺失，许多分析工具需要重新开发。
3. 高秩空间的唯一性：在像S^+_p (p>2)这样的高秩空间（包含平坦）中，唯一性定理失效。如何刻画这些空间中Busemann中位数的结构（例如，它是否必然包含在一个平坦里？）是一个有趣的几何问题。
4. 统计推断：基于样本深度的置信区域构造、假设检验等推断方法尚未开发。由于深度函数的非光滑性和中位数可能为集值，这带来了新的理论挑战。
5. 与机器学习结合：在表示学习、图神经网络等领域，数据常被嵌入双曲空间。Horospherical深度为这些嵌入向量的稳健聚合、异常检测提供了新的理论工具，值得探索。

7.3 实操心得与最终建议

从我尝试实现和实验的角度来看，有几点心得：

对于理论验证者：如果你想在具体流形上验证理论性质，从双曲空间H^2或H^3开始是最佳选择。庞加莱圆盘或半球模型可视化效果好，Busemann函数有简单表达式。可以先在均匀分布或混合分布上计算深度轮廓，直观感受凸性、对称性和中心点定理。

对于算法实现者：边界方向的离散化是精度和效率的权衡。在球面边界上，使用斐波那契格点或Halton序列比随机均匀采样覆盖更均匀。在优化深度时，由于深度函数是上半连续且通常非光滑，直接使用基于梯度的算法可能失败。建议结合全局搜索（如流形上的粒子群优化）和局部改进（在凸的深度区域内求重心）。

对于应用研究者：在将Horospherical深度应用于新领域（如SPD矩阵的脑连接数据分析）时，首要任务是确认数据空间的几何模型是否合理（是否真是Hadamard流形？）。其次，要意识到样本中位数可能是一个区域，这本身可能包含有用信息（例如，反映了数据的某种不确定性或多模态性）。报告整个深度轮廓图比只报告一个点估计更能反映数据分布的全貌。

最后，这个框架的魅力在于其几何的纯粹与统计的深刻之间的融合。它告诉我们，即使在弯曲的空间里，“中心”和“顺序”这些基本概念仍然可以有坚实而优美的数学定义，并且这些定义直接继承了经典理论中最宝贵的特质：鲁棒性、凸性和内在性。这为处理日益复杂的非欧氏数据打开了一扇新的大门。