冒泡排序需要的比较次数最差为多少

[fishonland]

1 假设线性表的长度为n，则在最坏情况下，冒泡排序需要的比较次数为多少
2 线性表中每一个元素是否都有直接前件和直接后件

[chlaws]

占沙发慢慢看

[JYYCOM]

n*(n-1)/2?

[lucian2007]

1:(n-1)!
2:不是

[geniuscaobo]

1:比较次数不变 (n-1+1)(n-1)/2
2:不一定
比如第一个元素没有前件...

[Fogers]

一、简单排序算法 
由于程序比较简单，所以没有加什么注释。所有的程序都给出了完整的运行代码，并在我的VC环境 
下运行通过。因为没有涉及MFC和WINDOWS的内容，所以在BORLAND C++的平台上应该也不会有什么 
问题的。在代码的后面给出了运行过程示意，希望对理解有帮助。 

1.冒泡法： 
这是最原始，也是众所周知的最慢的算法了。他的名字的由来因为它的工作看来象是冒泡： 
#include <iostream.h> 

void BubbleSort(int* pData,int Count) 
{ 
int iTemp; 
for(int i=1;i<Count;i++) 
{ 
for(int j=Count-1;j>=i;j--) 
{ 
if(pData[j]<pData[j-1]) 
{ 
iTemp = pData[j-1]; 
pData[j-1] = pData[j]; 
pData[j] = iTemp; 
} 
} 
} 
} 

void main() 
{ 
int data[] = {10,9,8,7,6,5,4}; 
BubbleSort(data,7); 
for (int i=0;i<7;i++) 
cout<<data[i]<<" "; 
cout<<"\n"; 
} 

倒序(最糟情况) 
第一轮：10,9,8,7->10,9,7,8->10,7,9,8->7,10,9,8(交换3次) 
第二轮：7,10,9,8->7,10,8,9->7,8,10,9(交换2次) 
第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次) 
循环次数：6次 
交换次数：6次 

其他： 
第一轮：8,10,7,9->8,10,7,9->8,7,10,9->7,8,10,9(交换2次) 
第二轮：7,8,10,9->7,8,10,9->7,8,10,9(交换0次) 
第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次) 
循环次数：6次 
交换次数：3次 

上面我们给出了程序段，现在我们分析它：这里，影响我们算法性能的主要部分是循环和交换， 
显然，次数越多，性能就越差。从上面的程序我们可以看出循环的次数是固定的，为1+2+...+n-1。 
写成公式就是1/2*(n-1)*n。 
现在注意，我们给出O方法的定义： 

若存在一常量K和起点n0，使当n>=n0时，有f(n)<=K*g(n),则f(n) = O(g(n))。（呵呵，不要说没 
学好数学呀，对于编程数学是非常重要的！！！） 

现在我们来看1/2*(n-1)*n，当K=1/2，n0=1，g(n)=n*n时，1/2*(n-1)*n<=1/2*n*n=K*g(n)。所以f(n) 
=O(g(n))=O(n*n)。所以我们程序循环的复杂度为O(n*n)。 
再看交换。从程序后面所跟的表可以看到，两种情况的循环相同，交换不同。其实交换本身同数据源的 
有序程度有极大的关系，当数据处于倒序的情况时，交换次数同循环一样（每次循环判断都会交换）， 
复杂度为O(n*n)。当数据为正序，将不会有交换。复杂度为O(0)。乱序时处于中间状态。正是由于这样的 
原因，我们通常都是通过循环次数来对比算法。 


2.交换法： 
交换法的程序最清晰简单，每次用当前的元素一一的同其后的元素比较并交换。 
#include <iostream.h> 
void ExchangeSort(int* pData,int Count) 
{ 
int iTemp; 
for(int i=0;i<Count-1;i++) 
{ 
for(int j=i+1;j<Count;j++) 
{ 
if(pData[j]<pData[i]) 
{ 
iTemp = pData[i]; 
pData[i] = pData[j]; 
pData[j] = iTemp; 
} 
} 
} 
} 

void main() 
{ 
int data[] = {10,9,8,7,6,5,4}; 
ExchangeSort(data,7); 
for (int i=0;i<7;i++) 
cout<<data[i]<<" "; 
cout<<"\n"; 
} 
倒序(最糟情况) 
第一轮：10,9,8,7->9,10,8,7->8,10,9,7->7,10,9,8(交换3次) 
第二轮：7,10,9,8->7,9,10,8->7,8,10,9(交换2次) 
第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次) 
循环次数：6次 
交换次数：6次 

其他： 
第一轮：8,10,7,9->8,10,7,9->7,10,8,9->7,10,8,9(交换1次) 
第二轮：7,10,8,9->7,8,10,9->7,8,10,9(交换1次) 
第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次) 
循环次数：6次 
交换次数：3次 

从运行的表格来看，交换几乎和冒泡一样糟。事实确实如此。循环次数和冒泡一样 
也是1/2*(n-1)*n，所以算法的复杂度仍然是O(n*n)。由于我们无法给出所有的情况，所以 
只能直接告诉大家他们在交换上面也是一样的糟糕（在某些情况下稍好，在某些情况下稍差）。 

3.选择法： 
现在我们终于可以看到一点希望：选择法，这种方法提高了一点性能（某些情况下） 
这种方法类似我们人为的排序习惯：从数据中选择最小的同第一个值交换，在从省下的部分中 
选择最小的与第二个交换，这样往复下去。 
#include <iostream.h> 
void SelectSort(int* pData,int Count) 
{ 
int iTemp; 
int iPos; 
for(int i=0;i<Count-1;i++) 
{ 
iTemp = pData[i]; 
iPos = i; 
for(int j=i+1;j<Count;j++) 
{ 
if(pData[j]<iTemp) 
{ 
iTemp = pData[j]; 
iPos = j; 
} 
} 
pData[iPos] = pData[i]; 
pData[i] = iTemp; 
} 
} 

void main() 
{ 
int data[] = {10,9,8,7,6,5,4}; 
SelectSort(data,7); 
for (int i=0;i<7;i++) 
cout<<data[i]<<" "; 
cout<<"\n"; 
} 
倒序(最糟情况) 
第一轮：10,9,8,7->(iTemp=9)10,9,8,7->(iTemp=8)10,9,8,7->(iTemp=7)7,9,8,10(交换1次) 
第二轮：7,9,8,10->7,9,8,10(iTemp=8)->(iTemp=8)7,8,9,10(交换1次) 
第一轮：7,8,9,10->(iTemp=9)7,8,9,10(交换0次) 
循环次数：6次 
交换次数：2次 

其他： 
第一轮：8,10,7,9->(iTemp=8)8,10,7,9->(iTemp=7)8,10,7,9->(iTemp=7)7,10,8,9(交换1次) 
第二轮：7,10,8,9->(iTemp=8)7,10,8,9->(iTemp=8)7,8,10,9(交换1次) 
第一轮：7,8,10,9->(iTemp=9)7,8,9,10(交换1次) 
循环次数：6次 
交换次数：3次 
遗憾的是算法需要的循环次数依然是1/2*(n-1)*n。所以算法复杂度为O(n*n)。 
我们来看他的交换。由于每次外层循环只产生一次交换（只有一个最小值）。所以f(n)<=n 
所以我们有f(n)=O(n)。所以，在数据较乱的时候，可以减少一定的交换次数。 


4.插入法： 
插入法较为复杂，它的基本工作原理是抽出牌，在前面的牌中寻找相应的位置插入，然后继续下一张 
#include <iostream.h> 
void InsertSort(int* pData,int Count) 
{ 
int iTemp; 
int iPos; 
for(int i=1;i<Count;i++) 
{ 
iTemp = pData[i]; 
iPos = i-1; 
while((iPos>=0) && (iTemp<pData[iPos])) 
{ 
pData[iPos+1] = pData[iPos]; 
iPos--; 
} 
pData[iPos+1] = iTemp; 
} 
} 

void main() 
{ 
int data[] = {10,9,8,7,6,5,4}; 
InsertSort(data,7); 
for (int i=0;i<7;i++) 
cout<<data[i]<<" "; 
cout<<"\n"; 
} 

倒序(最糟情况) 
第一轮：10,9,8,7->9,10,8,7(交换1次)(循环1次) 
第二轮：9,10,8,7->8,9,10,7(交换1次)(循环2次) 
第一轮：8,9,10,7->7,8,9,10(交换1次)(循环3次) 
循环次数：6次 
交换次数：3次 

其他： 
第一轮：8,10,7,9->8,10,7,9(交换0次)(循环1次) 
第二轮：8,10,7,9->7,8,10,9(交换1次)(循环2次) 
第一轮：7,8,10,9->7,8,9,10(交换1次)(循环1次) 
循环次数：4次 
交换次数：2次 

上面结尾的行为分析事实上造成了一种假象，让我们认为这种算法是简单算法中最好的，其实不是， 
因为其循环次数虽然并不固定，我们仍可以使用O方法。从上面的结果可以看出，循环的次数f(n)<= 
1/2*n*(n-1)<=1/2*n*n。所以其复杂度仍为O(n*n)（这里说明一下，其实如果不是为了展示这些简单 
排序的不同，交换次数仍然可以这样推导）。现在看交换，从外观上看，交换次数是O(n)（推导类似 
选择法），但我们每次要进行与内层循环相同次数的‘='操作。正常的一次交换我们需要三次‘=' 
而这里显然多了一些，所以我们浪费了时间。 

最终，我个人认为，在简单排序算法中，选择法是最好的。 


二、高级排序算法： 
高级排序算法中我们将只介绍这一种，同时也是目前我所知道（我看过的资料中）的最快的。 
它的工作看起来仍然象一个二叉树。首先我们选择一个中间值middle程序中我们使用数组中间值，然后 
把比它小的放在左边，大的放在右边（具体的实现是从两边找，找到一对后交换）。然后对两边分别使 
用这个过程（最容易的方法——递归）。 

1.快速排序： 
#include <iostream.h> 

void run(int* pData,int left,int right) 
{ 
int i,j; 
int middle,iTemp; 
i = left; 
j = right; 
middle = pData[(left+right)/2]; //求中间值 
do{ 
while((pData[i]<middle) && (i<right))//从左扫描大于中值的数 
i++; 
while((pData[j]>middle) && (j>left))//从右扫描大于中值的数 
j--; 
if(i<=j)//找到了一对值 
{ 
//交换 
iTemp = pData[i]; 
pData[i] = pData[j]; 
pData[j] = iTemp; 
i++; 
j--; 
} 
}while(i<=j);//如果两边扫描的下标交错，就停止（完成一次） 

//当左边部分有值(left<j)，递归左半边 
if(left<j) 
run(pData,left,j); 
//当右边部分有值(right>i)，递归右半边 
if(right>i) 
run(pData,i,right); 
} 

void QuickSort(int* pData,int Count) 
{ 
run(pData,0,Count-1); 
} 

void main() 
{ 
int data[] = {10,9,8,7,6,5,4}; 
QuickSort(data,7); 
for (int i=0;i<7;i++) 
cout<<data[i]<<" "; 
cout<<"\n"; 
} 

这里我没有给出行为的分析，因为这个很简单，我们直接来分析算法：首先我们考虑最理想的情况 
1.数组的大小是2的幂，这样分下去始终可以被2整除。假设为2的k次方，即k=log2(n)。 
2.每次我们选择的值刚好是中间值，这样，数组才可以被等分。 
第一层递归，循环n次，第二层循环2*(n/2)...... 
所以共有n+2(n/2)+4(n/4)+...+n*(n/n) = n+n+n+...+n=k*n=log2(n)*n 
所以算法复杂度为O(log2(n)*n) 
其他的情况只会比这种情况差，最差的情况是每次选择到的middle都是最小值或最大值，那么他将变 
成交换法（由于使用了递归，情况更糟）。但是你认为这种情况发生的几率有多大？？呵呵，你完全 
不必担心这个问题。实践证明，大多数的情况，快速排序总是最好的。 
如果你担心这个问题，你可以使用堆排序，这是一种稳定的O(log2(n)*n)算法，但是通常情况下速度要慢 
于快速排序（因为要重组堆）。 

三、其他排序 
1.双向冒泡： 
通常的冒泡是单向的，而这里是双向的，也就是说还要进行反向的工作。 
代码看起来复杂，仔细理一下就明白了，是一个来回震荡的方式。 
写这段代码的作者认为这样可以在冒泡的基础上减少一些交换（我不这么认为，也许我错了）。 
反正我认为这是一段有趣的代码，值得一看。 
#include <iostream.h> 
void Bubble2Sort(int* pData,int Count) 
{ 
int iTemp; 
int left = 1; 
int right =Count -1; 
int t; 
do 
{ 
//正向的部分 
for(int i=right;i>=left;i--) 
{ 
if(pData[i]<pData[i-1]) 
{ 
iTemp = pData[i]; 
pData[i] = pData[i-1]; 
pData[i-1] = iTemp; 
t = i; 
} 
} 
left = t+1; 

//反向的部分 
for(i=left;i<right+1;i++) 
{ 
if(pData[i]<pData[i-1]) 
{ 
iTemp = pData[i]; 
pData[i] = pData[i-1]; 
pData[i-1] = iTemp; 
t = i; 
} 
} 
right = t-1; 
}while(left<=right); 
} 

void main() 
{ 
int data[] = {10,9,8,7,6,5,4}; 
Bubble2Sort(data,7); 
for (int i=0;i<7;i++) 
cout<<data[i]<<" "; 
cout<<"\n"; 
} 


2.SHELL排序 
这个排序非常复杂，看了程序就知道了。 
首先需要一个递减的步长，这里我们使用的是9、5、3、1（最后的步长必须是1）。 
工作原理是首先对相隔9-1个元素的所有内容排序，然后再使用同样的方法对相隔5-1个元素的排序 
以次类推。 
#include <iostream.h> 
void ShellSort(int* pData,int Count) 
{ 
int step[4]; 
step[0] = 9; 
step[1] = 5; 
step[2] = 3; 
step[3] = 1; 

int iTemp; 
int k,s,w; 
for(int i=0;i<4;i++) 
{ 
k = step[i]; 
s = -k; 
for(int j=k;j<Count;j++) 
{ 
iTemp = pData[j]; 
w = j-k;//求上step个元素的下标 
if(s ==0) 
{ 
s = -k; 
s++; 
pData[s] = iTemp; 
} 
while((iTemp<pData[w]) && (w>=0) && (w<=Count)) 
{ 
pData[w+k] = pData[w]; 
w = w-k; 
} 
pData[w+k] = iTemp; 
} 
} 
} 

void main() 
{ 
int data[] = {10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,-10,-1}; 
ShellSort(data,12); 
for (int i=0;i<12;i++) 
cout<<data[i]<<" "; 
cout<<"\n"; 
} 

[bigzzhang]

fogerasp 大哥 很感谢你的资料哦！收下了。我以前看过快速排序算法，觉得效率高。

[cangwu_lee]

好！！！

[百炼钢丶]

5L 的太Hight了,^……