关于采样定理，我的惊人发现！

[Bill1212]

根据采样定理采样频率f应该大于等于信号的最高频率的2倍，才能从采样信号恢复原有信号。
我的疑问是，这里的“等于”真的可以吗？

例如：sin(2*pi*100t);频率是100hz, 采样的时候如果用200hz,
当t=nT=n/200代入sin(2*pi*100t);
得到sin(n*pi); n=0, 1, 2, 3,...
结果得到的序列全部是0

对一个全部是0的序列，怎么可能通过D/A转换恢复原来的正弦信号呢？

经过我的分析发现sin函数如果采样频率只是等于2f，那么频域还是会发生混叠。鉴于此处不方便输入若干公式，而且过程比较简单，就不写了。

所以，采样频率只有在大于2f的情况下才能恢复原有信号,而不可以是"等于"。

为何我们的教科书上会有这么严重的错误呢？

[linglongyouzhi]

这种情况应该是小概率事件吧，我觉得绝大部分的信号都不会正好全是n*pi的吧

[szhacker]

哪里有错，你是用一个正玄信号去连接这些零点，又不是用一条直线去连接这些点。

[linglongyouzhi]

2楼说得应该也有道理的

[Bill1212]

二楼的有道理？我其实本来不想评论。看来要扫一下盲了。
那我反问一句，如果信号本来就真的是0信号，那经过采样，D/A以后按照二楼的逻辑岂不是要成了正弦信号了？

看来帖子投错地方了，这里没有信号方面的牛人呀。

[linglongyouzhi]

你的那种情况应该就是正好在重叠的那个点上吧

[Bill1212]

这并非小概率事件，根据傅立叶变换，任何信号最终都是分解为很多正弦或余弦信号的复合，很难说哪个成分正好被滤掉。

另外，教科书上的定理总要严谨一点吧。

[Bill1212]

是的，频谱恰好重叠在边界点上

[liubin315927]

要我怎么说你们好啊，你们好好理解下傅立叶变换的本质啊，LZ的这个问题在数字信号处理书上都讨论过的啊，怎么没有看书啊？？？

[ollydbg23]

[Quote=引用 7 楼 Bill1212 的回复:]
是的，频谱恰好重叠在边界点上
[/Quote]
很有价值的一个讨论。
用201HZ的采样信号就能搞定这个事情，呵呵。

[linglongyouzhi]

不需要那么大
只要比200大一个delta（delta>0就可以了）
[Quote=引用 8 楼 ollydbg23 的回复:]
引用 7 楼 Bill1212 的回复:
是的，频谱恰好重叠在边界点上

很有价值的一个讨论。
用201HZ的采样信号就能搞定这个事情，呵呵。
[/Quote]

[Bill1212]

楼上这位兄弟，我是觉得教科书上有漏洞才在这里发问。
您要真的搞懂了，不妨给大家讲一讲，不要总是一句“回去看书”了事！
如果有问题都“回去看书”，csdn还搞什么论坛？

[Bill1212]

楼上想说什么？

[Erorr]

采样的时候还是需要考虑振幅和相位的
对cos信号进行采样，采样点的大小就是振幅，所以可以恢复原始信号
而sin信号采样后无法得到振幅，如果知道了振幅，还是一样可以恢复信号，因为知道相位差pi/2
其它相位的信号同样需要知道采样点的数值大小和对应的相位才可以恢复原始信号
书上说的还是严谨的，如果不能用正弦信号复合，也一定可以用余弦信号复合的
例如一个正弦信号无论用多少个余弦都不可能复合出来吧(猜的:P)

[ckc]

我的理解，采样不是特定点的振幅，而是采样时间内的平均值

[shellkk]

楼主，正弦函数的频谱是冲激函数，不是在某个点上无穷，在其他点上0

[LeoGooogle]

Please look at：
http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem

[shellkk]

[Quote=引用 15 楼 ckc 的回复:]
我的理解，采样不是特定点的振幅，而是采样时间内的平均值
[/Quote]

这个理解接近正确，严格来说，冲击函数是具紧支撑无穷可微函数空间上的一个线性泛函。

采样函数就是一串等间隔的冲击函数，采样就是用采样函数乘上原函数，用傅丽叶变换卷积定理推导一下，就可得到采样定理。

[bengol]

等于2倍频时，采样恢复的值与相位相关，并且不能保证恢复原始信号。
任何一本有水平的信号与系统书都会有由这个注解