C语言中医院的建立问题。在哪里建最合适。

[ziqing_deshi]

在一个城市里，n个家庭散乱地分布在城市中。用x坐标表示东西向，用y坐标表示南北向。各家庭的位置可以由坐标(x,y)表示。其中任意2点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离可以用数值|x1-x2|+|y1-y2|度量。大家希望在城市中选择建立医院的最佳位置，使n个家庭到医院的距离总和最小，输出最小的距离。
输入示例 输出示例
6 25
1 2
2 2
-1 3
-2 -2
0 3
5 -6

[zdeepblue]

[Quote=引用 6 楼 cphj 的回复:]
应该就是求这n个点的重心
[/Quote]
正解

设D(i)是Hospital(hx,hy)到Home(xi,yi)的距离，即D(i) = |hx-xi| + |hy-yi|
Sum(D)=D(1)+D(2)+...+D(n)，求min（Sum(D)）时的Hospital
因为D永为正数，可以把问题看成D2(i)=(hx-xi)^2+(hy-yi)^2,求min(sum(D2))
Sum(D2) = D2(1)+...+D2(n)
=n*hx^2-2*hx*sum(xi)+sum(xi^2) +
n*hy^2-2*hy*sum(yi)+sum(yi^2)
所以当hx=sum(xi)/n, hy=sum(yi)/n时Sum(D2)最小，即Sum(D)最小。

所以Hospital是在所有点围成多边形的中心。

[cphj]

楼上用数学解释

如果用物理可以这样解释：
假设n个点都有同样的质量，再放入1个额外的点，那么最后这个点就会受到之前n个点的引力作用，于是它最终会运动到某个平衡点，这个点就是之前n个点的重心

如何证明，重心到其他各点的距离和最小：
在重心上，它将感受不到任何引力作用，因为它到n个点的距离是最小的，如果不是这样，那么它就还有势能，势能将迫使它继续移动

[diablox0147]

如果实际生活中还应该考虑到交通和人口流量.....

[十八道胡同]

最简单的思路，通过试每个点得出答案，
不过应该有更好的办法

[zhkjoy]

先在距离最远的两个家庭中间线上试，找最小距离点，然后在这个点附近找

[V68V6]

考虑DS中的多源点最短路径算法

[whg01]

先获取x,y的最大和最小值Xmin,Xmax, Ymin, Ymax。
然后让i从Xmin到Xmax变化，逐个计算相应的x方向的距离和。找到最小的。
然后再计算y方向。
这样就得到了坐标。
复杂度 O(n*max(|Xmin-Xmax|,|Ymin-Ymax|))

[morilasi]

貌似算法导论 中位数 那一章有讲这个问题？
楼主可以翻一下

[cphj]

应该就是求这n个点的重心

[zechaoxu]

学习学习