求一思路和算法

kevn 2010-02-05 08:43:46

问题如下：
工厂每天要把多个固定大小的长方形的模板（原料）切割成若干种不同长宽的方形的待加工品，
当然每种待加工品也有数量上的计划，我想计算怎么切割才是最省料的切法
注：1.每切一刀必须是一直到头的，（这个是和工厂的机器有关的）
2.待加工品暂不考虑有其他形状的可能，只有长方形，正方形

我的想法是，比如每天计划切8种材料，每种需要的个数不同，是不是要先切大的，然后看看剩的料切多少小的，
这其中要考虑这8种的面积，长宽，还有数量。

期待牛人的算法。

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butnet 2010-02-05

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matlab

xqhwws0 2010-02-05

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这么复杂！！！！

kevn 2010-02-05

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恩，暂时不考虑厚度。。。不考虑厚度也没太多思路

xboy 2010-02-05

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非常复杂，建议先化简成平面模型去完成，也就是说不考虑板材的厚度！
完成平面模型的切割之后再考虑立体模型的切割

guoyu_bo 2010-02-05

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用动态规划

参考下面这本书P486,元件折叠问题

书名: 数据结构算法与应用-C++语言描述
原书名: Data Structures, Algorithms, and Applications in C++
原出版社 Mcgraw-Hill
作者: Sartej Sahni
译者: 汪诗林等
书号: 7-111-07645-1
页码: 536
定价: ￥49.00
丛书名计算机科学丛书
出版社: 机械工业出版社
出版日期: 2000-1-1

原文如下

15.2.6 元件折叠
在设计电路的过程中，工程师们会采取多种不同的设计风格。其中的两种为位－片设计（bit-slice design）和标准单元设计（standard-cell design）。在前一种方法中，电路首先被设计为
一个元件栈。每个元件Ci 宽为wi ，高为hi ，而元件宽度用片数来表示。线路是按片来连接各元件的，即连线可能连接元件Ci 的第j片到
元件Ci+1 的第j 片。如果某些元件的宽度不足j 片，则这些元件之间不存在片j 的连线。当图1 5 -
10a 的位－片设计作为某一大系统的一部分时，则在V L SI ( Very Large Scale Integrated) 芯片上为
它分配一定数量的空间单元。分配是按空间宽度或高度的限制来完成的。现在的问题便是如何
将元件栈折叠到分配空间中去，以便尽量减小未受限制的尺度（如，若高度限制为H时，必须
折叠栈以尽量减小宽度W）。由于其他尺度不变，因此缩小一个尺度（如W）等价于缩小面积。
可用折线方式来折叠元件栈，在每一折叠点，元件旋转1 8 0°。在图15-10b 的例子中，一
个1 2元件的栈折叠成四个垂直栈，折叠点为C6 , C9 和C1 0。折叠栈的宽度是宽度最大的元件所需
的片数。在图15-10b 中，栈宽各为4，3，2和4。折叠栈的高度等于各栈所有元件高度之和的
最大值。在图15-10b 中栈1的元件高度之和最大，该栈的高度决定了包围所有栈的矩形高度。
实际上，在元件折叠问题中，还需考虑连接两个栈的线路所需的附加空间。如，在图1 5 -
10b 中C5 和C6 间的线路因C6 为折叠点而弯曲。这些线路要求在C5 和C6 之下留有垂直空间，以便
能从栈1连到栈2。令ri 为Ci 是折叠点时所需的高度。栈1所需的高度为
h1+h2+h3++h4+h5+r6，栈2所需高度为h6+h7+h8+r6+r9
在标准单元设计中，电路首先被设计成为具有相同高度的符合线性顺序的元件排列。假设
此线性顺序中的元件为C1，⋯，Cn，下一步元件被折叠成如图1 5 - 11所示的相同宽度的行。在
此图中， 1 2个标准单元折叠成四个等宽行。折叠点是C4，C6 和C11。在相邻标准单元行之间，
使用布线通道来连接不同的行。折叠点决定了所需布线通道的高度。设li 表示当Ci 为折叠点时
所需的通道高度。在图1 5 - 11的例子中，布线通道1的高度为l4，通道2的高度为l6，通道3的高
度为l11。
位－片栈折叠和标准单元折叠都会引出一系列的问题，这些问题可用动态规划方法来解决。
1. 等宽位－片元件折叠
定义r1 = r(n+1) =0。由元件Ci 至Cj 构成的栈的高度要求为
li+l(i+1)+....+ ri+r(j+1) + 1。设一个位－片设计中
所有元件有相同宽度W。首先考察在折叠矩形的高度H给定的情况下，如何缩小其宽度。设Wi
为将元件Ci 到Cn 折叠到高为H的矩形时的最小宽度。若折叠不能实现（如当ri +hi＞H时），取
Wi =∞。注意到W1 可能是所有n 个元件的最佳折叠宽度。
当折叠Ci 到Cn 时，需要确定折叠点。现假定折叠点是按栈左到栈右的顺序来取定的。若
第一点定为Ck+ 1，则Ci 到Ck 在第一个栈中。为了得到最小宽度，从Ck+1 到Cn 的折叠必须用最优
化方法，因此又将用到最优原理，可用动态规划方法来解决此问题。当第一个折叠点k+ 1已知
时，可得到以下公式：
Wi =w+ Wk + 1 （1 5 - 9）
由于不知道第一个折叠点，因此需要尝试所有可行的折叠点，并选择满足（ 1 5 - 9）式的折
叠点。令h s u m(i,k)=hi+h(i+1)+...+hj。因k+ 1是一个可行的折叠点，因此h s u m(i, k) +ri +rk+1 一定不会超过H。
根据上述分析，可得到以下动态规划递归式：
Wi=w+min{W(k+1)|hsum(i,k)+ri+r(k+1)<=H,i<=k<=n} (15-10)

这里Wn+1 =0，且在无最优折叠点k+ 1时Wi 为∞。利用递归式（1 5 - 1 0），可通过递归计算Wn , Wn- 1
⋯, W2 , W1 来计算Wi。Wi 的计算需要至多检查n-i+ 1个Wk+ 1，耗时为O (n-k)。因此计算所有Wi 的
时间为O (n2 )。通过保留式（1 5 - 1 0）每次所得的k 值，可回溯地计算出各个最优的折叠点，其
时间耗费为O (n)。
现在来考察另外一个有关等宽元件的折叠问题：折叠后矩形的宽度W已知，需要尽量减小
其高度。因每个折叠矩形宽为w，因此折叠后栈的最大数量为s=W / w。令Hi, j 为Ci , ⋯, Cn 折叠成
一宽度为jw 的矩形后的最小高度， H1, s 则是所有元件折叠后的最小高度。当j= 1时，不允许任
何折叠，因此：
Hi,1 =h s u m(i,n) +ri , 1≤i≤n
另外，当i=n 时，仅有一个元件，也不可能折叠，因此：
Hn ,j=hn+rn , 1≤j≤s
在其他情况下，都可以进行元件折叠。如果第一个折叠点为k+ 1，则第一个栈的高度为
h s u m(i,k) +ri +rk+ 1。其他元件必须以至多(j- 1 ) *w 的宽度折叠。为保证该折叠的最优性，其他元件
也需以最小高度进行折叠，即：
Hi,j=max{hsum(i,k)+ri+r(k+1),Hk+1,j-1}

因为第一个折叠点未知，因此必须尝试所有可能的折叠点，然后从中找出一个使式（1 5 - 11）
的右侧取最小值的点，该点成为第一个折叠点。所得递归式为：

Hi,j=min[max{hsum(i,k)+ri+r(k+1),Hk+1,j-1}] i<=k<n

Wi =w+ Wk + 1 （1 5 - 9）
由于不知道第一个折叠点，因此需要尝试所有可行的折叠点，并选择满足（ 1 5 - 9）式的折
叠点。令h s u m(i,k)

kevn 2010-02-05