算法求解（数学建模的问题）

[最帅马老师]

刚看到有兄弟提问，没想出下文就结贴了，现重新开一贴征求算法：

原题：

有一条长阶梯，若每步跨2阶，则最最后剩一阶，若每步跨3 阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶则最后剩5阶。只有每次跨7阶，最后才正好一阶不剩。请问这条阶梯共有多少阶？
C语言，使用如下程序：

#include <stdio.h>
int
main()
{
        int i=0;

        while (i+=7)
        {                
                if ( (i-2)%3!=0 )       continue;
                if ( (i-4)%5!=0 )       continue;
                if ( (i-5)%6!=0 )       continue;

                printf("the anwser is: %d\n", i);
				break;
        }

        return 0;
}

输出为119。
那么，119是不是唯一的答案？不是，将程序更改为如下：

#include <stdio.h>

int
main()
{
        int i=0;

        while (i+=7)
        {
                if (i>10000)
                {
                        break;
                }

                if ( (i-2)%3!=0 )       continue;
                if ( (i-4)%5!=0 )       continue;
                if ( (i-5)%6!=0 )       continue;

                printf("the anwser is: %d\n", i);
        }

        return 0;
}

输出为：
the anwser is: 119
the anwser is: 329
the anwser is: 539
the anwser is: 749
the anwser is: 959
the anwser is: 1169
the anwser is: 1379
the anwser is: 1589

从这些输出可以观察到，从119开始，每个符合条件的答案之间相差210。
但为什么会相差210？第一个数为119，可不可以推算出来，而不用遍历？
如果用函数f(x)表示，则此函数有f(x+T)=f(x)，周期T为210，这个函数如何建模？

[weixiaoshashou]

先来看看热闹。待会进来瞻仰大牛。

[ayw215]

这个其实就是中国剩余定理了
可以写出通项来

[djjlove_2008]

这个用数学建模来做吗？其实就是展示你的逻辑思维呀，恩，使用剩余定理是最快的方法。

[最帅马老师]

只是想做下尝试

[huayiluo]

表示关注！

[zmshy2128]

用手都可以算出来

设满足条件的总阶数为N(i) （表示第i个解），因为“若每步跨3 阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶则最后剩5阶。” 则N(i)+1同时是3、5、6的倍数，即N(i)+1是 30 的倍数。 又因为因为N(i)是7 的倍数。

那么有 N(i+1) + 1也是30的倍数，N(i+1)也是7的倍数。
固有 N(i+1)-N(i) 的值同时是30和7的倍数，即210.


对于满足条件的第一个解，以
for(i = 29; 判断i是否整除7； i+=30)

的方式计算寻找即可。

[AAA20090987]

这就是中国剩余定理吧
离散数学的书中有详细介绍

[moxiao02]

[Quote=引用 8 楼 zmshy2128 的回复:]
用手都可以算出来

设满足条件的总阶数为N(i) （表示第i个解），因为“若每步跨3 阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶则最后剩5阶。” 则N(i)+1同时是3、5、6的倍数，即N(i)+1是 30 的倍数。 又因为因为N(i)是7 的倍数。

那么有 N(i+1) + 1也是30的倍数，N(i+1)也是7的倍数。
固有 N(i+1)-N(i) 的值同时是30和7……
[/Quote]

不错

[Abc9956]

小小的学习下

[liuwei2500]

用30的倍数来解决的确是一个正确的解答

[zdl110110]

2,3,5,6,7的最小公倍数为210

[shellfish567]

你的算法处理的太过于粗糙，根本没考虑效率问题！
根据相应的数可以看出，如果要满足这个数，则有个条件，这个数是2的倍数减一，2的倍数减一，5的倍数减一，6的倍数减一，恰且等于7的倍数。
都是减一，那为什么不这么求？这个数为2,3,5,6的公倍数减1，恰且整除以7？2,3,5,6的公倍数为30，可以这么写
#include <stdio.h>
main()
{
int i=30-1;//这里为了表示满足这个条件
while(1)
{
if((i%7==0)
break;
i+=30;
}
printf("the min num is %i\n",i);
}

至于为什么往上每次加210，算算2,3,5,6,7的公倍数？既是每次加的30%7==2,那么这个余数要想被7整除那需要？14，也就是7次，7次+30==210，所以，要想求以后的数，只需要从最小的数开始，每次加210即可，具体代码不用写了吧？我想应该效率上要高于你那个

[雪域迷影]

[Quote=引用 8 楼 zmshy2128 的回复:]


设满足条件的总阶数为N(i) （表示第i个解），因为“若每步跨3 阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶则最后剩5阶。” 则N(i)+1同时是3、5、6的倍数，即N(i)+1是 30 的倍数。 又因为因为N(i)是7 的倍数。

那么有 N(i+1) + 1也是30的倍数，N(i+1)也是7的倍数。
固有 N(i+1)-N(i) 的值同时是30和7的倍数，即使210的倍数[/Quote]
8楼的思路不错，
我刚开始做的思路效率太低了，学习了！
以前也做过一模一样的问题，只不过问题描述的方式不一样罢了！

[cattycat]

8楼说的不错。
N(i)+1被2，3，5，6整除，所以能被5*6=30整除，而N(i)能被7整除。
下一个解N(i+1)+1能被30整除，N(i+1)能被7整除。
可以这样写：
(N(i+1)+1)-(N(i)+1)=N(i+1)-N(i)
所以就有N(i+1)-N(i)同时被30和7整除。最小公倍数也被整除，就是相差210.
第一个解从30-1=29试，第二个解从59试，后面依次是89，119，找到第一个解是119，后面每个解相差210.

[Q446512799]

[Quote=引用 8 楼 zmshy2128 的回复:]
用手都可以算出来

设满足条件的总阶数为N(i) （表示第i个解），因为“若每步跨3 阶，则最后剩2阶，若每步跨5阶，则最后剩4阶，若每步跨6阶则最后剩5阶。” 则N(i)+1同时是3、5、6的倍数，即N(i)+1是 30 的倍数。 又因为因为N(i)是7 的倍数。

那么有 N(i+1) + 1也是30的倍数，N(i+1)也是7的倍数。
固有 N(i+1)-N(i) 的值同时是30和7……
[/Quote]
~~

[arong1234]

典型的CRT问题，看看http://blog.vckbase.com/arong/archive/2004/06/11/431.html

[qiuqiu19870120]

这个可以列出六元非齐次方程可以解出其解
1 -2 0 0 0 0 1
1 0 -3 0 0 0 2
1 0 0 -5 0 0 4
1 0 0 0 -6 0 5
1 0 0 0 0 -7 0
显然前面的系数矩阵的秩是5 所以最后的解得形式肯定是y=a*n+b的形式 很显然这是直线的形式 所以我只要解出其中两点就等于解决这方程的解了 然后取这直线的整数点OK了

[yinxx11]

来学习学习

[alandingking]

中国剩余定理，LZ去看看

[neverby]

中国剩余定理……