大数如何求余？

2010-10-17 06:59:14 1k 阅读 AI 写同款 · GEO 优化AI 选题数据监测一键分发 ›

C++快速幂取余算法：原理、实现与实战应用在计算机科学中，模运算和幂运算是基础而重要的数学概念，广泛应用于密码学、算法竞赛和大数处理等领域。模运算的核心原理在于利用同余性质，在保持等价关系的同时控制数值范围，有效防止数据溢出。快速幂算法则通过二进制分解思想，将线性复杂度的幂运算优化为对数复杂度，实现了从O(n)到O(log n)的效率飞跃。这一技术组合在工程实践中价值显著，特别是在处理RSA加密、组合数计算和矩阵幂等场景时，能够高效解决大指数、大模数下的计算难题。本文以C++实现为例，深入剖析快速幂取余的底层逻辑，涵盖迭代与递归两种写法，并探讨了防阅读详情

在Project Euler做题，才到第三题就卡住，题目是求600851475143的最大质因数
原本我想用600851475143去求余sqrt(600851475143)，但600851475143这个数只能用double数据类型来存储，而浮点类型又不能做求余运算，请问像600851475143这样的大数如何求余呢？还是这道题我的思路不对，谢谢。

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同余运算核心性质全解析：从模运算原理到密码学与工程实战模运算（Modular Arithmetic）是计算机科学和离散数学中的基础概念，它研究整数除以某个正整数（模数）后的余数关系。其核心原理在于将无限的整数集映射到一个有限的剩余类集合上，从而在有限域内进行运算。这一特性赋予了模运算极高的技术价值：它能将复杂的大数运算简化为小范围计算，有效防止数据溢出，并天然地处理周期性、循环性问题。在应用场景上，模运算是现代密码学（如RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换）的基石，用于实现加密、解密和密钥生成。同时，它也广泛应用于校验码设计（如CRC、ISBN号）阅读详情

jeff_nie

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tagMsg 2011-05-21

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LZ可以参考Linux源码中IPSEC部分有一个计算大数取余的第三方包。

AnYidan 2011-05-20

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wenhaoz 2011-05-20

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这贴沉了。。。我顶一下。。。。

乐CC 2010-10-20

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[Quote=引用 1 楼 baihacker 的回复:]
C/C++ code

typedef long long int64;
int64 n = 60081475143LL;
for (int64 i = 2; ; ++i)
{
if (i * i > n) break;
while (n % i == 0) n /= i, @1;
}
if (n != 1) @2;

@1中的i和@2中的n较大的为所求。
[/Quote]
这个意思是不断除自己的因数，直到sprt(n),也就是i*i>n跳出，i会记录从2到sqrt(n)中最大的因数，当然，如果最后还剩一个没法除，那他本身也是质数，所以取@1和@2中的大者

liutengfeigo 2010-10-20

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飞雪的代码很神奇。

jeff_nie 2010-10-20

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应该不是数据范围的问题，long long取值范围在：-9223372036854775808 ~ 9223372036854775807之间，远大于 600851475143，关键是算法问题，运行时间太长了，所以结果一直出不来:(

jeff_nie 2010-10-20

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@飞雪，你的意思我还是没太明白
@忘忧草，我的思路是和你差不多，只是我没用到数组存储，直接用了分支和循环，代码如下：



#include <stdio.h>

#include <math.h>



typedef long long int64;



int main()

{

    int64 n = 600851475143LL;



    int64 i;



    for (i = n; i >= 2; i--)

    {

        int flag = 1;

        if (n % i == 0)         // 如果i是n的因数

        {

            int j;

            for (j = 2; j <= sqrt(i); j++)

                if (i % j == 0)   // 判断是否不是质数

                    flag = 0;





            if (flag == 1)       // 如果是质数

            {

                printf("%d", i);

                break;

            }

        }

    }



    return 0;

}

但是，我的问题还是在数据类型上，long long 数据类型还是存储不了600851475143LL 这个数，如果将n的值设置小些，上面的代码是能正确输出n的最大质因数的。

baihacker 2010-10-20

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[Quote=引用 8 楼 jeff_nie 的回复:]
引用 6 楼 void_wuyu 的回复:
引用 1 楼 baihacker 的回复:
C/C++ code

typedef long long int64;
int64 n = 60081475143LL;
for (int64 i = 2; ; ++i)
{
if (i * i > n) break;
while (n % i == 0) n /= i, @1;
}
i……
[/Quote]
你再仔细看看。

jeff_nie 2010-10-20

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[Quote=引用 6 楼 void_wuyu 的回复:]
引用 1 楼 baihacker 的回复:
C/C++ code

typedef long long int64;
int64 n = 60081475143LL;
for (int64 i = 2; ; ++i)
{
if (i * i > n) break;
while (n % i == 0) n /= i, @1;
}
if (n != 1) @2;

@1中的i……
[/Quote]

这个办法我也想过，那会不会存在大于sqrt(n)的质因数呢？因为你的运算范围是在sqrt(n)之内的。
因为，我想先找最大的素数，再判断是不是因数。这样，可以减少运行次数。

jeff_nie 2010-10-20

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600851475143 这个数是千亿了，用硬办法去先找因数，再判断质数的方法，10亿内还能接受，几十秒，到百亿估计是出不来了。有没有好点的算法呢？

zhangxun2007 2010-10-17

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1，求出不超过sqrt(600851475143)的所有质数；
方法：
int a;
a=(int)(sqrt(600851475143));//强制转换
使用循环，做辗转相除，将所得质数用数组按从大到小顺序储存。
2，用数组中最大数除600851475143，
若能整除，即为所求，停止；若不能，用次最大除600851475143，重复这个过程，直到最后结束。

baihacker 2010-10-17

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typedef long long int64;

int64 n = 60081475143LL;

for (int64 i = 2; ; ++i)

{

  if (i * i > n) break;

  while (n % i == 0) n /= i, @1;

}

if (n != 1) @2;



@1中的i和@2中的n较大的为所求。

大数如何求余？

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