教你透彻了解红黑树

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2010-12-29 07:13:14

教你透彻了解红黑树

作者 July 2010年12月29日
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本文参考：Google、算法导论、STL源码剖析、计算机程序设计艺术。
本人声明：个人原创，转载请注明出处。

一、红黑树的介绍
先来看下算法导论对R-B Tree的介绍：
红黑树，一种二叉查找树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。
通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

前面说了，红黑树，是一种二叉查找树，既然是二叉查找树，那么它必满足二叉查找树的一般性质。
下面，再具体介绍红黑树之前，咱们先来了解下二叉查找树的一般性质：
1.在一棵二叉查找树上，执行查找、插入、删除等操作，的时间复杂度为O（lgn）。
因为，一棵由n个结点，随机构造的二叉查找树的高度为O（lgn），所以顺理成章，一般操作的执行时间为O（lgn）。
（至于n个结点的二叉树高度为O（lgn）的证明，可参考算法导论第12章二叉查找树。）
2.但若是一棵具有n个结点的线性链，则此些操作最坏情况运行时间为O（n）。

而红黑树，能保证在最坏情况下，基本的动态几何操作的时间均为O（lgn）。
ok，我们知道，红黑树上每个结点内含五个域，color，key，left，right。如果相应的指针域没有，则设为NIL。

一般的，红黑树，满足一下性质，即只有满足一下性质的树，我们才称之为红黑树：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

下图所示，即是一颗红黑树：

此图忽略了叶子和根部的父结点。总之，可以这样表示，就对了。:D。

..........

红黑树插入、删除操作的具体实现
ok，接下来，咱们来具体了解红黑树的插入操作。
向一棵含有n个结点的红黑树插入一个新结点的操作可以在O（lgn）时间内完成。

算法导论：
RB-INSERT(T, z)
1 y ← nil[T]
2 x ← root[T]
3 while x ≠ nil[T]
4 do y ← x
5 if key[z] < key[x]
6 then x ← left[x]
7 else x ← right[x]
8 p[z] ← y
9 if y = nil[T]
10 then root[T] ← z
11 else if key[z] < key[y]
12 then left[y] ← z
13 else right[y] ← z
14 left[z] ← nil[T]
15 right[z] ← nil[T]
16 color[z] ← RED
17 RB-INSERT-FIXUP(T, z)

咱们来具体分析下，此段代码：
RB-INSERT(T, z)，将z插入红黑树T 之内。

为保证红黑性质在插入操作后依然保持，上述代码调用了一个辅助程序RB-INSERT-FIXUP
来对结点进行重新着色，并旋转。

14 left[z] ← nil[T]
15 right[z] ← nil[T] //保持正确的树结构
第16行，将z着为红色，由于将z着为红色可能会违背某一条红黑树的性质，
所以，在第17行，调用RB-INSERT-FIXUP（T,z）来保持红黑树的性质。

RB-INSERT-FIXUP(T, z)，如下所示：
1 while color[p[z]] = RED
2 do if p[z] = left[p[p[z]]]
3 then y ← right[p[p[z]]]
4 if color[y] = RED
5 then color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[y] ← BLACK ▹ Case 1
7 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 1
8 z ← p[p[z]] ▹ Case 1
9 else if z = right[p[z]]
10 then z ← p[z] ▹ Case 2
11 LEFT-ROTATE(T, z) ▹ Case 2
12 color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 3
13 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 3
14 RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]]) ▹ Case 3
15 else (same as then clause
with "right" and "left" exchanged)
16 color[root[T]] ← BLACK

ok，参考一网友的言论，用自己的语言，再来具体解剖下上述俩段代码。
为了保证阐述清晰，我再写下红黑树的5个性质：

1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

在对红黑树进行插入操作时，我们一般总是插入红色的结点，因为这样可以在插入过程中尽量避免对树的调整。
那么，我们插入一个结点后，可能会使原树的哪些性质改变列?
由于，我们是按照二叉树的方式进行插入，因此元素的搜索性质不会改变。

如果插入的结点是根结点，性质2会被破坏，如果插入结点的父结点是红色，则会破坏性质4。
因此，总而言之，插入一个红色结点只会破坏性质2或性质4。
我们的回复策略很简单，
其一、把出现违背红黑树性质的结点向上移，如果能移到根结点，那么很容易就能通过直接修改根结点来恢复红黑树的性质。直接通过修改根结点来恢复红黑树应满足的性质。
其二、穷举所有的可能性，之后把能归于同一类方法处理的归为同一类，不能直接处理的化归到下面的几种情况，

情况1：插入的是根结点。
原树是空树，此情况只会违反性质2。
对策：直接把此结点涂为黑色。
情况2：插入的结点的父结点是黑色。
此不会违反性质2和性质4，红黑树没有被破坏。
对策：什么也不做。
情况3：当前结点的父结点是红色且祖父结点的另一个子结点（叔叔结点）是红色。
此时父结点的父结点一定存在，否则插入前就已不是红黑树。
与此同时，又分为父结点是祖父结点的左子还是右子，对于对称性，我们只要解开一个方向就可以了。

在此，我们只考虑父结点为祖父左子的情况。
同时，还可以分为当前结点是其父结点的左子还是右子，但是处理方式是一样的。我们将此归为同一类。
对策：将当前节点的父节点和叔叔节点涂黑，祖父结点涂红，把当前结点指向祖父节点，从新的当前节点重新开始算法。

针对情况3，变化前：
...........

===========
更多请参考：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/29/6105630.aspx
详情，参见My BLog：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v

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作者 July 2010年12月29日
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一、红黑树的介绍
先来看下算法导论对R-B Tree的介绍：
红黑树，一种二叉查找树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。
通过……
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红黑树的删除部分，图，已经全部补充完整，大功告成。:D。