求一时间复杂度的证明题```

[zflc107]

证明如果f(n)=O(n^k),则存在自然数l,c，满足对于所有的自然数n，有f(n)<=n^l+c

谢谢。。

[GoonYangXiaofang]

f(n) = O(n^k)
所以 f(n) <= a * n ^ k + b (a, b 为常数)

要证存在自然数 l, c，满足 所有的自然数 n
使得：a * n ^ k + b <= n ^ l + c = n ^ l + c1 + c - c1 = n ^ l + c1 + c2 (c = c1 + c2)

即证存在自然数 l, c1, c2，满足 所有的自然数
使得：a * n ^ k <= n ^ l + c1 且 b <= c2

假设 l = k + 1
当 n < a 时，只要 c1 >= (a - n) * n ^ k, a * n ^ k <= n ^ l + c1 成立
当 n >= a 时，a * n ^ k <= n ^ l + c1 成立

[無_1024]

哎 很久不看 忘记了

[飞天御剑流]

1楼的证明方法有问题的，按照大O的定义，f(n)=O(g(n))即f(n)<=g(n)，由于f(n)=O(n^k)，应为f(n)<=an^k，不能在an^k凭空加个常数b，这是不成立的，如果b小于0就有问题了。证明方法可以如下：