N!的最高位

sanguine1211 2011-07-14 06:15:51
Time Limit:1000MS Memory Limit:30000KB
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Description

求N的阶乘的最高位数。
例如：
5!=120,所以最高位为1
10!=3628800，所以最高位为3

Input

每个数据包含一行,每行有一个整数N(0<=N<=10000000)

Output

对于每个测试数据，输出N!的最高位数字

Sample Input

5
10

Sample Output

1
3

Source

EOJ


代码验证：http://acm.cs.ecnu.edu.cn/problem.php?problemid=1007



求解各位大牛肿么做啊！！！
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sanguine1211 2011-07-17
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[Quote=引用 23 楼 pathuang68 的回复:]

C/C++ code

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main(int argc, char *argv[])
{
int n = 0;
int firstnumber = 0;
double log_n_factorial = 0.0;
do
{
……
[/Quote]

这个方法我已经知道了，我想问下有木有什么方法不要后面的枚举啊……我一个学长他好像就是5行代码就AC了，他没有后面的枚举一些情况
sanguine1211 2011-07-17
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[Quote=引用 24 楼 uniqueroy 的回复:]

引用 23 楼 pathuang68 的回复:

C/C++ code

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main(int argc, char *argv[])
{
int n = 0;
int firstnumber = 0;
double log_n_factorial ……
[/Quote]


13行的，13第一位是6矣……只有这几位有问题……

有木有什么办法不要枚举后面的啊……
pathuang68 2011-07-17
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[Quote=引用 24 楼 uniqueroy 的回复:]

引用 23 楼 pathuang68 的回复:

C/C++ code

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main(int argc, char *argv[])
{
int n = 0;
int firstnumber = 0;
double log_n_factorial ……
[/Quote]
上面的代码计算13！的第一位数是6，实际上13！的阶乘的第一位数的确是6。没有问题。
pathuang68 2011-07-17
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你学长的做法估计是下面这样的：


#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;



int main(int argc, char *argv[])

{

    int n = 0, firstnumber = 0;

    double log_n_factorial = 0.0;

	do

	{

		cin >> n;

    

		for(int i = 1; i <= n; ++i)

		{

			log_n_factorial += log((double)i) / log(10.0);

		}

		log_n_factorial -= (int)log_n_factorial;



		firstnumber = exp(log_n_factorial * log(10.0));



		cout << firstnumber << endl;



		log_n_factorial = 0.0;



	}while(n != 0);    // n = 0时退出循环



    return 0;

}


注意：
1. n = 0时应该输出1，这个在上面的程序中增加一个判断语句即可。因为0！是数学上的定义，无法计算。
2. 上面的算法速度也很快，不管n多小或者多大，得到的结果都肯定是精确值，这和Sterling公式在n较小时存在比较大的误差，是有区别的。折中算法的效率应该可以Accepted。
3. 在计算很大的n时，上面的算法速度应该不如用Sterling公式
4. 所以可以进行折中，在计算较小的n时，可以用上面的办法，计算较大的n时，用Sterling公式。即综合上面的算法和9楼的算法。

附加说明：
我们把阶乘的算法，通过两遍取对数，变成加法，是上面算法的关键，比如：
10！ = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10
两边取对数（下面的log均以10为底，由于C语言中没有以10为底的对数函数，所以上面的代码中用了换底公式）：
log(10!) = log1 + log2 + log3 + log4 + log5 + log6 + log7 + log8 + log9 + log10
这样一来就不会产生溢出，同时提高了运算效率。
将得到的结果的整数部分去掉，只保留小数部分，比如log(125) = 2.09691。其整数部分为2，去掉2，就相当于将原来的数字125，除以100(因为log100 = 2)，也就是说log(1.25) = 0.09691。对数的反函数是指数函数，所以第一位数可以通过[10^0.09691]计算出来，即1。其中[]表示向下取整。

推而广之，如果要得出前面的两位数，就将log(125) - 1 = 1.09691, 然后[10^1.09691] = 12

对于楼主这个题目，也是如此。比如要计算出10000！的前三位数，按照上面的做法，也是很容易就可以搞定的。

不过你学长5行代码就搞定了，那是很nx了，方便话把他的答案贴出来，给大家学习学习。
uniqueroy 2011-07-16
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[Quote=引用 23 楼 pathuang68 的回复:]

C/C++ code

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main(int argc, char *argv[])
{
int n = 0;
int firstnumber = 0;
double log_n_factorial = 0.0;
do
{
……
[/Quote]

到13还是不行了。。。
13！第一位好像是9
pathuang68 2011-07-16
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#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;



int main(int argc, char *argv[])

{

    int n = 0;

    int firstnumber = 0;

    double log_n_factorial = 0.0;

	do

	{

		cin >> n;

    

		log_n_factorial = 0.5 * log(2 * 3.14159265358979 * (double)n) / log(10.0) + (double)n * log((double)n / 2.71828459045) / log(10.0);

		log_n_factorial -= (int)log_n_factorial;



		firstnumber = exp(log_n_factorial * log(10.0));



		// 1. 用sterling公式计算较小数字的阶乘的时候，存在比较大的误差，随着数字的增大误差越小。

		// 2. 用switch...case...处理几个比较小的数字，其他的(见default)就均可以使用sterling公式计算出来的结果了。

		switch(n)

		{

		case 0:

			cout << "1" << endl;

			break;

		case 1:

			cout << "1" << endl;

			break;

		case 2:

			cout << "2" << endl;

			break;

		case 3:

			cout << "6" << endl;

			break;

		case 7:

			cout << "5" << endl;

			break;

		case 8:

			cout << "4" << endl;

			break;

		default:

			cout << firstnumber << endl;

		}

	}while(n != 0);    // n = 0时退出循环



    return 0;

}
pathuang68 2011-07-16
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[Quote=引用 21 楼 pathuang68 的回复:]

这题应该是要用到sterling公式的，否则要么溢出，要么超时。但在用sterling公式时要注意：
1. 用sterling公式计算较小数字的阶乘的时候，存在比较大的误差，随着数字的增大误差越小。
2. 用switch...case...处理几个比较小的数字，其他的(见default)就均可以使用sterling公式计算出来的结果了。

在9楼代码的基础上做了一些修改，楼主可以在这个基……
[/Quote]
晕，每个case后，忘记加break;了。
pathuang68 2011-07-16
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这题应该是要用到sterling公式的，否则要么溢出，要么超时。但在用sterling公式时要注意：
1. 用sterling公式计算较小数字的阶乘的时候，存在比较大的误差，随着数字的增大误差越小。
2. 用switch...case...处理几个比较小的数字，其他的(见default)就均可以使用sterling公式计算出来的结果了。

在9楼代码的基础上做了一些修改，楼主可以在这个基础上再修改一下。供参考：


#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;



int main(int argc, char *argv[])

{

    int n = 0;

    int firstnumber = 0;

    double log_n_factorial = 0.0;

	do

	{

		cin >> n;

    

		log_n_factorial = 0.5 * log(2 * 3.14159265358979 * (double)n) / log(10.0) + (double)n * log((double)n / 2.71828459045) / log(10.0);

		log_n_factorial -= (int)log_n_factorial;



		firstnumber = exp(log_n_factorial * log(10.0));



		// 1. 用sterling公式计算较小数字的阶乘的时候，存在比较大的误差，随着数字的增大误差越小。

		// 2. 用switch...case...处理几个比较小的数字，其他的(见default)就均可以使用sterling公式计算出来的结果了。

		switch(n)

		{

		case 0:

			cout << "1" << endl;

		case 1:

			cout << "1" << endl;

		case 2:

			cout << "2" << endl;

		case 3:

			cout << "6" << endl;

		case 7:

			cout << "5" << endl;

		case 8:

			cout << "4" << endl;

		default:

			cout << firstnumber << endl;

		}

	}while(n != 0);



    return 0;

}

赵4老师 2011-07-15
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用python语言，想求第几位，就求第几位。
uniqueroy 2011-07-15
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[Quote=引用 17 楼 sanguine1211 的回复:]

引用 15 楼 uniqueroy 的回复:

C/C++ code
long long n, sum1;
n = 13;
sum1 = nmultiple(n);
printf("%ld\n", sum1);
long double sum;
sum = (long double)sum1;//这里直接给错了。。。1932053504直接给成了6227020800.000000……
[/Quote]

刚跑了你的, 到13也不行了啊, 咱应该都是double小数位太长的问题吧..
uniqueroy 2011-07-15
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[Quote=引用 17 楼 sanguine1211 的回复:]

引用 15 楼 uniqueroy 的回复:

C/C++ code
long long n, sum1;
n = 13;
sum1 = nmultiple(n);
printf("%ld\n", sum1);
long double sum;
sum = (long double)sum1;//这里直接给错了。。。1932053504直接给成了6227020800.000000……
[/Quote]

一辈子看不懂斯特林公式...
sanguine1211 2011-07-15
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[Quote=引用 15 楼 uniqueroy 的回复:]

C/C++ code
long long n, sum1;
n = 13;
sum1 = nmultiple(n);
printf("%ld\n", sum1);
long double sum;
sum = (long double)sum1;//这里直接给错了。。。1932053504直接给成了6227020800.000000， 谁知道为什……
[/Quote]





#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cstdlib>

#define pi 3.141592653

#define exp 2.718281828

using namespace std;

int main()

{

	int n,m;

	double s;

	while(cin>>n)

	{

		s=log10(sqrt(2*n*pi))+n*log10(n/exp);

		m=(int)pow(10.0,s-(int)s);

		if(n==0)

			cout<<"1"<<endl;

		else if(n==1)

			cout<<"1"<<endl;

		else if(n==2)

			cout<<"2"<<endl;

		else if(n==3)

			cout<<"6"<<endl;

		else if(n==7)

			cout<<"5"<<endl;

		else if(n==8)

			cout<<"4"<<endl;

		else

			cout<<m<<endl;

	}

	return 0;

}
sanguine1211 2011-07-15
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[Quote=引用 15 楼 uniqueroy 的回复:]

C/C++ code
long long n, sum1;
n = 13;
sum1 = nmultiple(n);
printf("%ld\n", sum1);
long double sum;
sum = (long double)sum1;//这里直接给错了。。。1932053504直接给成了6227020800.000000， 谁知道为什……
[/Quote]

我是这样做的……AC了……
有什么办法能去掉下面这些枚举吗？
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#define pi 3.141592653
#define exp 2.718281828
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
double s;
while(cin>>n)
{
s=log10(sqrt(2*n*pi))+n*log10(n/exp);
m=(int)pow(10.0,s-(int)s);
if(n==0)
cout<<"1"<<endl;
else if(n==1)
cout<<"1"<<endl;
else if(n==2)
cout<<"2"<<endl;
else if(n==3)
cout<<"6"<<endl;
else if(n==7)
cout<<"5"<<endl;
else if(n==8)
cout<<"4"<<endl;
else
cout<<m<<endl;
}
return 0;
}
uniqueroy 2011-07-14
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	long long n, sum1;

	n = 13;

	sum1 = nmultiple(n);

	printf("%ld\n", sum1);

	long double sum;

	sum = (long double)sum1;//这里直接给错了。。。1932053504直接给成了6227020800.000000， 谁知道为什么吗

	printf("%Lf\n", sum);

	while(1)

	{

	    if(sum > 10)

            sum /= 10;

        else

            break;

	}

	printf("%Lf\n", sum);

	int i;

	for(i = 1; i < 10; i ++)

        if((sum - i) < 1)

            break;

    printf("%d", i);
uniqueroy 2011-07-14
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噢， 我刚从1试到13， 1-12都正确， 13好像就不行了，是不是太长了 强转double读不到了
uniqueroy 2011-07-14
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long long nmultiple(long long n)

{

	if(n > 1)

		n = n * nmultiple(n - 1);

	return n;

}





void main()

{

	long long n, sum1;

	n = 13;

	sum1 = nmultiple(n);

	printf("%ld\n", sum1);

	double sum;

	sum = (double)sum1;

	while(1)

	{

	    if(sum > 10)

            sum /= 10;

        else

            break;

	}

	printf("%f\n", sum);

	int i;

	for(i = 1; i < 10; i ++)

        if((sum - i) < 1)

            break;

    printf("%d", i);

}


这样应该是可以的
flora186 2011-07-14
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看着就晕菜...
pathuang68 2011-07-14
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还是用9楼的吧，10楼的还不如9楼滴:(
pathuang68 2011-07-14
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吃完饭了。修改了一下，下面这样应该就全部可以了。


#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;



int main(int argc, char *argv[])

{

	int n = 0;

	int firstnumber = 0;

	double log_n_factorial = 0.0;

	cin >> n;



	

	log_n_factorial = 0.5 * log(2 * 3.14159265358979 * (double)n) / log(10.0) + (double)n * log((double)n / 2.71828459045) / log(10.0);

	log_n_factorial -= (int)log_n_factorial;



	firstnumber = (int)(exp(log_n_factorial * log(10.0))+ 0.5);      // 改成向上取整



	cout << firstnumber << endl;



	return 0;

}
pathuang68 2011-07-14
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这就是你要的答案，供参考。数字越大结果应该越准确。


#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;



int main(int argc, char *argv[])

{

	int n = 0;

	int firstnumber = 0;

	double log_n_factorial = 0.0;

	cin >> n;



	

	log_n_factorial = 0.5 * log(2 * 3.14159265358979 * (double)n) / log(10.0) + (double)n * log((double)n / 2.71828459045) / log(10.0);

	log_n_factorial -= (int)log_n_factorial;



	firstnumber = exp(log_n_factorial * log(10.0));



	cout << firstnumber << endl;



	return 0;

}


稍微验证了一下，出7！的阶乘的第一位不准确外，其它的似乎都可以。
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