用离散数学思考八皇后问题的数据结构

mervynhit 2011-09-11 06:43:03

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

我们已经知道要用回硕法了，但是用什么数据结构去储存这个棋盘，从而使算法最简便呢。
我们首先想到的肯定是一个8*8二维数组，它显然是一个好方法，我们可以用两个二维数组，一个二维数组存皇后的位置，另外一个二维数组存0,1，判断某一行或者一列已经被占据了，然后，只要用第二个二维数组去判断就可以了。

那么有没有更好的办法呢，我们的数据结构应该尽可能的包含条件的限制，只要条件的限制就由数据结构去考虑了，而不是由我们自己去考虑。

我们用离散数学去思考问题，我们可以吧棋盘的行看成一个集合A，列看成一个集合B，A={0,1,2,3,4,5,6,7}，B = {a,b,c,d,e,f,g,h}，那么8皇后的问题应该是一个关系R, 是笛卡尔乘积 A * B的子集。对于任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，也就意味着 R <= A * B &
对于任意 a1, a2 < A, R(a1) != R(a2)，这样我们满足了函数（关系的子集）的一个性质，同时我们需要证明这个关系R的定义域为A，假如R的定义域不为A,也就意味着8个皇后放在了小于7的行数上，那么肯定有两个皇后在一行上，矛盾，所以R的定义域为A。那么我们可以确定R为从A到B的一个函数。

前面用的二维数组的，显然是一个关系，它没有规定两个皇后不能在同一列，而需要编程者子集去判断。而如果我们用函数来表示棋盘：
int board[8], 对于i<8, i表示函数，而Borad[i]表示皇后放在第i行的第board[i]列，board是从行到列的一个函数。那么我们不在需要判断皇后不在同一行了（函数的性质），只需要判断列和斜线，也就简化了问题。

PS：其实都是很浅显的道理，完全不需要证明，只是想说，在设计数据结构的时候，尽量让数据结构包含一些条件，而你在这个数据结构上就只需要判断剩下的条件就可以了。

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