一道数据结构题目

[Wesson96]

1）写出对一棵查找树（内部和外部节点的查找概率均已知）进行成功查找和不成功查找所需的平均比较次数，并对这2个比较次数作简要的解释。
2）写出在等概率情况下，最佳查找树的代价。

[Wesson96]

对于完全二叉查找树，深度为d的层的节点数为 Nd = 2^d，则深度为k的完全二叉查找树的总节点数为：N = 2^(k+1) - 1, 设每个节点的被查找的次数相等，
1）则成功查找的平均比较次数为：
Avg（成功查找）= （1 * 2^0 + 2*2^1 + 3*2^2+...+(k+1)*2^k）/ N;
又因为 S(n) = 1 + 2*2 + 3*2^2 +...+(n+1)*2^n=n*2^(n+1) + 1，（k=0,1,2,...,n）;
故
Avg（成功查找）= [k*2^(k+1) + 1] / [2^(k+1) - 1] = k + (k + 1) / [2^(k+1) - 1];
k <= Avg <= k + 1, k = log (N + 1) - 1, --> log(N+1) -1 <= avg <= log(N + 1),即平均查找次数为 大于等于logN的最小整数；
2）若不成功查找，每次比较的次数都等于其 （树高 + 1 = 大于等于logN的最小整数）；

[Wesson96]

整理一下，不知道分析正不正确，忘高手和大神指教：


1）设D(i)为第i个节点的比较次数，等于 大于等于其深度的最小整数；对于具有N个节点的树：
C（成功查找）= [D(1) + ... + D(N) ] / N；
而不成功查找的节点最后一次比较必然在树的叶子节点上，可以认为与每个叶子节点比较的概率相等，故不成功查找的平均比较次数为 大于等于平均高度的最小整数；
2）对于完全二叉查找树，深度为d的层的节点数为 Nd = 2^d，则深度为k的完全二叉查找树的总节点数为：N = 2^(k+1) - 1, 设每个节点的被查找的次数相等，
a.则成功查找的平均比较次数为：
Avg（成功查找）= （1 * 2^0 + 2*2^1 + 3*2^2+...+(k+1)*2^k）/ N;
又因为 S(n) = 1 + 2*2 + 3*2^2 +...+(n+1)*2^n=n*2^(n+1) + 1，（k=0,1,2,...,n）;
故
Avg（成功查找）= [k*2^(k+1) + 1] / [2^(k+1) - 1] = k + (k + 1) / [2^(k+1) - 1];
k <= Avg <= k + 1, k = log (N + 1) - 1, --> log(N+1) -1 <= avg <= log(N + 1),即平均查找次数为 大于等于logN的最小整数；
b.若不成功查找，每次比较的次数都等于其 （树高 + 1 = 大于等于logN的最小整数）；