算法设计与分析第二章作业

[计科2101郑炯扬]

1.请以伪代码描述最大字段和的分治算法

分析：

将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：

①在[1, n/2]内

②在[n/2+1, n]内

③在起点位于[1,n/2]，终点位于[n/2+1,n]内

举例：（PTA的例子）-2 11 -4 13 -5 -2

 

代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1e6+10;
int n;
int q[N];

int find_Max(int q[],int l,int r)
{
    if(l>=r) return q[l];
    
    int mid=(l+r)/2;
    
    //int l_Max=find_Max(q,l,mid);
    //int r_Max=find_Max(q,mid+1,r);
    //合并
    int q_Max=max(find_Max(q,l,mid),find_Max(q,mid+1,r));
    
    int s1=0,lefts=0; //求左边最大字段和
    for(int i=mid-1;i>=l;i--)
    {
        lefts+=q[i];
        if(lefts>s1) s1=lefts;
    }
    
    int s2=0,rights=0; //求右边最大字段和
    for(int i=mid;i<=r;i++)
    {
        rights+=q[i];
        if(rights>s2) s2=rights;
    }
    
    return max(q_Max,s1+s2);
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
    cout<<find_Max(q,0,n-1)<<endl;
    
    return 0;
}

2.分析该算法的时间复杂度

 子问题分解：O(1)

求解子问题：2T(n/2)

合并子问题：O(n)

故时间复杂度T(n)=2T(n/2)+O(n)，利用主定理求解得T(n)=nlogn

3.结合本章的学习，你对分治法的体会和思考

分治法的基本思想是将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题，分为三个步骤：

①整个问题划分为多少子问题

②求解各子问题（一般用递归）

③合并子问题的解，形成原始问题的解

快速排序和归并排序是分治法的两个经典算法，需熟练掌握，下列给出自己的代码：

快速排序：

#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1e6+10;
int n;
int q[N];

void quick_sort(int q[],int l,int r)
{
    if(l>=r) return;
    int i=l-1,j=r+1,x=q[(l+r)/2];
    while(i<j)
    {
        do i++;while(q[i]<x);
        do j--;while(q[j]>x);
        if(i<j) swap(q[i],q[j]);
    }
    quick_sort(q,l,j),quick_sort(q,j+1,r);
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
    quick_sort(q,0,n-1);
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<q[i]<<" ";
    
    return 0;
}

归并排序：

#include<iostream>

using namespace std;

const int N=1e6+10;
int n;
int q[N],tmp[N];

void merge_sort(int q[],int l,int r)
{
    if(l>=r) return;

    int mid=(l+r)/2;
    merge_sort(q,l,mid),merge_sort(q,mid+1,r);

    int i=l,j=mid+1,k=0;
    while(i<=mid && j<=r)
    {
        if(q[i]<q[j]) tmp[k++]=q[i++];
        else tmp[k++]=q[j++];
    }

    while(i<=mid) tmp[k++]=q[i++];
    while(j<=r) tmp[k++]=q[j++];

    for(int i=l,j=0;i<=r;i++,j++) q[i]=tmp[j];
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>q[i];
    merge_sort(q,0,n-1);
    for(int i=0;i<n;i++) cout<<q[i]<<" ";
    cout<<endl;
    
    return 0;
}