算法设计与分析第二章作业

软件工程2101邓文淏 2022-09-25 10:54:46

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题目描述

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。（要求算法的时间复杂度为O(n)。）

输入格式：输入有两行：第一行是n值（1<=n<=10000)；第二行是n个整数。
输出样式：输出最大子段和。

输入样例：
6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例：
20

思路：若n=1(即序列中只有1个元素)，若该元素大于0，则返回该元素；否则返回0(定义一个序列的最大连续子段和至少为0，若元素全为负数，定义其和为0)；

该子序列完全落在左半部，即a[0...mid]中，采用递归求最大连续子段和maxLeftSum；
该子序列完全落在右半部，即a[mid+1...n-1]中，采用递归求最大连续子段和maxRightSum；
该子序列跨越a的中部而占据左右部分，以中间元素amid为界，向左边部分和右边部分扩张，以左边为例，定义leftBorderSum=0,maxLeftBorderSum=0
让leftBorderSum从中间让左边累加，如果遇到正数就把正数加上去，并把结果赋值给maxleftBorderSum （表现形式就是如果leftBorderSum > maxLeftBorderSum说明加了个正数）；
右边同样的道理。最后 maxMidSum = maxleftBorderSum + maxRightBorderSum
比较出1,2,3,中所求的数那一个最大即为所求结果。

关键： 以数组中点为界，目标值只能在三处---要么在中点左边(不含中点)，要么必须包含中点，要么右边(不含中点)。

伪代码：

 int maxSubSum(int *a, int left, int right) {
     if (left == right) {
         return a[left] < 0 ? 0 : a[left];
     }
         int centor = (left + right) / 2;
     int leftSum = maxSubSum(a, left, centor);
     int rightSum = maxSubSum(a, centor + 1, right);
     int s1 = 0;
     int lefts =0;
     for (int i = centor; i >= left; i--) { // 从中点向左找最大字段和
         lefts += a[i];
         if (lefts > s1) {
             s1 = lefts;
         }
     }
     int s2 = 0;
     int rights = 0;
     for (int i = centor + 1; i <= right; i++) {//从中点向右找最大字段和
         rights += a[i];
         if (rights > s1) {
             s1 = rights;
         }
     }
     int sum = s0 + s1; // 第三种情况的最大子段和
     sum = max(sum, leftSum); // 求解三种情况的最大值
     sum = max(sum, rightSum);
     return sum;
 }
 int maxSum(int *a, int n) {
     return sumSubSum(a, 1, n); // 可以根据数组a自行调整
 }

时间复杂度：O(logN)

空间复杂度：O(logN)--来源递归调用栈产生的空间

心得体会：

分治法概念上理解就是将整个问题分解成若干小问题后再分而治之。如果分解得到的子问题相对来说还是太大，则可反复使用分治策略将这些子问题分成更小的同类型子问题，直至产生方便求解的子问题，必要时逐步合并这些子问题的解，从而得到问题的解，类似一个递归过程。分治法是一种设计算法的思想，大大优化了算法的运行时间复杂度，优化了程序，如何熟练使用需要继续进行不断地练习才能感悟。

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