算法设计与分析第二章作业

[软工2103钟培]

1.最大子段和（分治法）

 

 

伪代码：

算法 MaxSum(a,left,right)
输入：数组a，left，right（左右边界）
输出：最大子段和sum及子段边界

if |a|=1 then 输出元素（值为负输出0）
mid=(left+right)/2
leftsum<-MaxSum(a,left,mid)
rightsum<-MaxSum(a.mid+1,right)
S1<-a1[mid]      //从mid向左
S2<-a2[mid+1]    //从mid向右
sum <- S1+S2
if leftsum>sum then sum<-leftsum
if rightsum>sum then sun<-rightsum

在数组的 mid = (right-left)/2+1 位置处分开。形成两个子数组。

那么，最大子段和可能出现在三个位置：

可能出现在左子数组
可能出现在右子数组
可能出现在包含mid及其左右两边的子数组
下面考虑 三种情况的计算方法：

第一种情况： 计算 left 到 mid 的最大和，记作 leftSum

第二种情况： 计算从 mid+1 到 right的最大和，记作 rightSum

第三种情况： 跨边界的和， 以mid为中心分别向两边计算和。

　　　　　a.从 mid出发，每次向左边扩张一步，并且记录当前的值S1，如果当前的和比上次的和大，就更新S1，一直向左扩张到位置 Left。

　　　　　b.从 mid+1出发，每次扩张一步，计算当前的和 为S2，如果当前的值比上次的和大，就更新S2的值，一直向右扩张到位置Right。

　　　　　c.计算过mid的连续值的和，S1+S2的值 Sum。 这个就是跨边界的和。

上面三种情况考虑计算完成后，最后一步就是，比较三个值中的最大值，取最大值就可以了。

2.该算法的时间复杂度

分解子问题时间复杂度为O(1)

合并子问题算法时间复杂度为O(1)

求解子问题的时候，分成两段进行求解，每段是原来的一半长度，因所以时间复杂度为2T(n/2)

最后得到T(n)=2T(n/2)+O(n)，计算得时间复杂度为O(nlogn)

3.体会与思考

分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

但在问题规模很小的时候，这种方法并不是很适合。

总结：这种化大问题为小问题，就如积跬步以至千里，在我们的日常生活中面对各种难题都可以多少采用一下这种方法，走一步再走一步，总会成功的