分治算法——求最大字段和

[LGOODL]

一、问题描述

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。

输入格式：

输入有两行：

第一行是n值（1<=n<=10000)；

第二行是n个整数。

输出格式：

输出最大子段和。

输入样例：

在这里给出一组输入。例如：

6

-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例：

在这里给出相应的输出。例如：

20

二、解决思路

利用分治法来解决，题目是要求在数组中寻找最大字段和，（用递归来写）如果只有一个元素（n=0），只需要判断该元素是否大于零，如果大于零的话就返回该元素，如果不是的话就返回零；如果元素个数多于一个的话（n>1），就采用二分，将数组一分为二，在左右两段数组寻找最大字段和，那么左数组和右数组就分别获得一个最大字段和。还有一种情况，就是最大字段和既不在数组左边，也不在数组右边，而是在数组中间。那就需要从数组中间的元素向两边求出这个最大字段和。由上就求到了三个最大字段和，再较大小左、中、右的最大字段和的大小返回最大的一个字段和即可。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int a[10000];
int n;
int max(int l,int r)
{
	int maxL,maxR,maxM;//左数组的最大字段和、左数组的最大字段和、中间的最大字段和 
	if(r==l)//如果只有一个元素，大于0返回该元素，小于0返回0 
	{
		if(a[l]>=0)
		return a[l];
		else
		return 0;
	}
	int mid=(r+l)/2;
	maxL=max(l,mid);//左数组求最大子段和 
	maxR=max(mid+1,r);//右数组求最大字段和 
	
	int flagL=0,flagR=0,m_maxL=0,m_maxR=0;//求中间的最大字段和 
	for(int i=mid;i>=l;i--) 
	{
		flagL+=a[i];
		if(flagL>m_maxL)
		m_maxL=flagL;
	}
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		flagR+=a[i];
		if(flagR>m_maxR)
		m_maxR=flagR;
	}
	maxM=m_maxR+m_maxL;
	
	if(maxL>maxR && maxL>maxM)
	return maxL;
	else if(maxR>maxL && maxR>maxM)
	return maxR;
	else if(maxM>maxL && maxM>maxR)
	return maxM; 
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	cin>>a[i];
	cout<<max(0,n-1)<<endl;
	return 0;
}

时间复杂度：划分的时间复杂度是O（1），求解子问题复杂度为2T(n/2),求解中间最大字段和的是O(n),根据主定理，所以时间复杂度是O(nlog n)。

三、对于分治法的收获

分治法是将一个难以解决的大问题分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。反复用分治手段，可以使子问题与原问题一致但是规模却不断变小，最终子问题缩小到很容易解决。我学了分治法后，最直接的体会就是写的代码简洁易懂，通过递归调用自身，减少规模，使子问题比较容易解决。比如本题求最大字段和，分派问题，快速排序，合并排序等等。