算法设计与分析第二章作业

[计科2101袁悦]

一、以伪代码描述最大字段和的分治算法

三种情况

1.最大字段在左边

2.最大字段在右边

3.最大字段在中间

int MaxSum(int a[ ], int left, int right)
{
    int sum = 0;
    if  (left == right) //数组长度为一的情况
        {

           if (a[left] < 0)  sum = 0;

        }
    else
       {
           int mid = (left + right) / 2;
           int leftsum = MaxSum(a, left, mid);//数组左段和
           int rightsum = MaxSum(a, mid + 1, right);//数组右段和

           int S1 = 0;//左边最大字段和
           int lefts = 0;
           for (int i = mid; i >= left;  i--)
            {
               lefts += a[i];
               if (lefts > S1)
               S1 = lefts;
             }

            int S2 = 0;//右边最大字段和
            int rights = 0;
            for (int i = mid + 1;  i <= right;  i++)
             {
                rights += a[i];
                if (rights > S2)
                S2 = rights;
              }
          sum = S1 + S2;//横跨中间最大字段和
          if  (sum < leftsum)
            sum = leftsum;
          if (sum < rightsum)
            sum = rightsum;//找最大值
      }
    return sum;
}

二、分析时间复杂度

分解子问题：O(1)

求解子问题：2T(n/2)

合并子问题：O(n)

综合：O(nlogn)

三、对分治法的思考

分治法的主要步骤是，首先将求解较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题，然后对这k个子问题分别求解，如果规模还不够小就继续往下划分，直到足够小易求得解，最后将子问题的解合并成为初始问题的解。

适用的条件：

1.问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

2.问题可以分解为若干个规模较小的相同子问题;

3.问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4.各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

这种拆分求解，用递归来实现可以让代码很简洁，让时间效率提高，但空间复杂度也比较高。