算法设计与分析第二章作业

[软工2101许炜彬]

1.请以伪代码描述最大字段和的分治算法

将序列a[1:n]分成长度相等的两段a[1:n/2]和a[n/2+1:n],分别求出这两段的最大字段和，则a[1:n]的最大子段和有三中情形：

1.a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同；

2.a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

3.a[1:n]的最大字段和为中间段；

可用递归方法求得情形1、2。对于情形3,可以看出a[n/2]与a[n/2+1]在最优子序列中。

因此可以在a[1:n/2]中计算出s1；

在a[n/2+1:n]中计算出s2；

则s1+s2即为出现情形3时的最优值。

伪代码如下：

int maxSubSum(int a[], int left, int right){
 
	int sum = 0;
	if(left == right){
		sum = a[left] > 0 ? a[left] : 0;
	}
	else{
		
		int center = (left + right) / 2;
		int leftSum = maxSubSum(a, left, center);
		int rightSum = maxSubSum(a, center + 1, right);
 
		int s1 = 0;
		int lefts = 0;
		for(int i = center; i >= left; i--){
			
			lefts += a[i];
			if(lefts > s1) s1 = lefts;
		}
	
		int s2 = 0;
		int rights = 0;
		for(int i = center + 1; i < right; i++){
			
			rights += a[i];
			if(rights > s2)	s2 = rights;
		}
		sum = s1 + s2;
		if(sum < leftSum) sum = leftSum;	
		if(sum < rightSum) sum = rightSum;
	}
	return sum;
}

2、分析该算法的时间复杂度

  每次将原问题分解成左右两个子问题，最后合并n个子问题的答案，由此可得

  分解子问题：O（1）；求解子问题：2 T(n/2)  （把问题分成左右两边数量减半即T（n/2），左右两边相加：T（n/2）*2） 

  合并子问题：O（n）     

  该算法的时间复杂度为T(n) = 2 T(n/2) + O（n），故T(n) = （nlogn）

3、结合本章的学习，你对分治法的体会和思考

分治法的基本思想就是把一个规模为n的问题分解成k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。

(1) 将求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。

(2) 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。

(3) 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

这种思想其实应用很广泛，只是生活中不去特别注意。将一个复杂的且规模庞大的问题通过不断细分不断细分，变成一个个易于理解易于解决的子问题，逐一击破后合并成为最后的解

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