算法设计与分析第二章作业

[软工2101俞子娴]

题目描述

最大子段和

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。

要求算法的时间复杂度为O(n)。

输入格式:

输入有两行：

第一行是n值（1<=n<=10000)；

第二行是n个整数。

输出格式:

输出最大子段和。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

20

 

思路：

按照平衡子问题的思路，将序列（a1,a2,a3....an）划分为长度相同的两个子序列（a1,a2....a[n/2]）和（a[n/2]+1.....an），则会出现以下三种情况：

①序列的最大字段和=序列左半部分的最大字段和；

②序列的最大字段和=序列右半部分的最大字段和；

③最大字段和对应的子序列占据左右两部分。

求解子问题：

情况①和②可以用递归进行处理，而情况③可以转换为求 序列左半部分的最大字段和，右半部分的最大字段和，两者相加的结果，这三者谁的字段和结果最大的问题。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int MaxSum(int a[ ], int left, int right)
{
    int sum=0;
    int center,leftsum,rightsum,s1,lefts,i,s2,rights,j;
    if (left==right)        //如果序列长度为1，直接求解
    {
        if (a[left]>0)
            sum=a[left];
        else
            sum=0;
    }
    else
    {
        center=(left+right)/2;    //划分
        leftsum=MaxSum(a, left, center);//对应情况①，递归求解
        rightsum=MaxSum(a, center+1, right);//对应情况②，递归求解
        s1=0;
        lefts=0;
        //以下对应情况③，先求解s1
        for (i=center; i>=left; i--)
        {
            lefts+=a[i];
            if (lefts>s1)
                s1=lefts;
        }
        s2=0;
        rights=0;             //再求解s2
        for (j=center+1; j<=right; j++)
        {
            rights+=a[j];
            if (rights>s2)
                s2=rights;
        }
        sum=s1+s2;              //计算情况③的最大子段和
        if (sum<leftsum)
            sum=leftsum;
        //合并，在sum、leftsum和rightsum中取较大者
        if (sum<rightsum)
            sum=rightsum;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int n;
    int a[100];
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    cout<<MaxSum(a,0,n-1);
}

n=1时，T(n)=1;

n>1时,T(n)=2T(n/2)+n;

算法的时间复杂性为O(nlog2n)

 

对分治法的体会

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

更准确地说是，将规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题相同。递归地解决子问题，然后将解合并得到原问题的解。

分治法是一种设计算法的思想，大大优化了算法的运行时间复杂度，优化了程序，要能熟练使用，还需要继续进行不断地练习。