计算机算法设计与分析第二章作业

[计科2101蔡慧琳]

1. 请以伪代码描述最大字段和的分治算法

   1. 问题描述

      给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n]，求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时，定义子段和为0。

      要求算法的时间复杂度为O(n)。

   2. 问题分析

      通过分治的思想，可以不断把数组a[1:n]从中间平均分成两个部分：a[1:mid]和a[mid+1: n]两个部分，这样最大字段和出现的位置就会分成三种情况：

      • 最大子段和在左半段
      • 最大子段和在右半段
      • 最大子段和在中间段

      最大子段在左半端与右半端的通过不断递归相加求得，中间通过分别求两边再相加得出，最后再进行比较返回最大的子段和。

   3. 算法实现

   #include<iostream>
   using namespace std;
   int a[10000];
   int MaxSum(int *a, int left, int right)
   {
       int sum = 0, MidSum = 0,LeftSum = 0, RightSum=0;
       int center, s1, s2, lefts, rights;
       if(left == right)
           sum = a[left];
       else{
           center = (left + right)/2;
           LeftSum = MaxSum(a, left, center);       
           RightSum = MaxSum(a, center+1, right);    
           s1 = 0;
           lefts = 0;                          
           for(int i = center;i >= left;i--)          
           {
               lefts += a[i];
               if(lefts > s1) s1 = lefts;
           }
           s2=0;
           rights=0;
           for(int j = center+1;j <= right;j++)   
           {
               rights += a[j];
               if(rights > s2)
                   s2 = rights;
           }
           MidSum = s1+s2;              
           if(MidSum < LeftSum)
               sum = LeftSum;
           else
               sum = MidSum;
           if(sum < RightSum)
               sum = RightSum;   
       }
   
       return sum;
   }
   int main(void)
   {
       int n,j;
       cin>> n;
       for(j = 0;j < n;j++)
           cin>> a[j];
       cout<< MaxSum(a,0,n-1);
       return 0;
   }
   

2. 该算法的时间复杂度

   划分子问题：O(1)

   求解子问题：2T(n/2)

   合并子问题：O(n)

   所以T(n) = 2T(n/2)+O(1)+O(n)

   所以该算法的时间复杂度为T(n) = O(nlogn)

3. 分治法的体会与思考

   ​ 分治算法的核心思想可以归结为四个字：分而治之。分治法将规模为n的问题不断缩减，划分子问题，分成k个规模为n/m的我们比较容易能解决的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同，最后求出的小规模问题的解合并为更大规模的解，自底向上逐步合并求出原问题的解。