算法设计与分析第三章作业

[计科2101袁悦]

 一、动态规划方程

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：数组a[N]表示每堆石子的质量；

                  sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量；

                   dp[i][j]表示第i到第j堆石子最小的代价和

状态方程：dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j])     (1 <= i < k < j <=N)

边界条件：d[i][j] = 0

时间复杂度：O(n^3)

空间复杂度：O(n^2)

二、对动态规划法的体会与思考

通过这段时间的学习，我认为动态规划的方法是十分灵活的，思维性比较强，其基本思路是：按时空特点将复杂问题划分为相互联系的若干个阶段，在选定系统行进方向之后，逆着这个行进方向，从终点向起始点计算，逐次对每个阶段寻找某种决策，使整个过程达到最优。在实际运用过程中，要求我们设好状态，正确写出状态转移方程。