算法设计与分析第三章作业

[计科2101高喆]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
                  数组a[N]表示每堆石子的质量
                  f(i,j) 表示第i堆到第j堆石子合并的最小代价
状态方程：f(i,j) = min (f[i][j] , f(i,k) + f(k+1, j) + sum[j] - sum[i-1]) , i<=k<=j-1
                  f[i][i] = 0, i==j
边界条件：i == j时，f[i][i] = 0
时间复杂度：O(n^3)
空间复杂度：O(n^2)

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划法的实质是分治思想和解决冗余。因此，动态规划是一种将问题实例分解为更小的、相似的子问题，并通过存储子问题的解而避免计算重复子问题，以解决最优化问题的算法策略。通过学习我发现，动态规划法与分治法和贪心法类似，都是将问题实例归纳为更小的、相似的子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。

动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即子问题呈现大量的重复。动态规划法的关键就在于，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到事就加以求解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接用，不必重新求解。