算法设计与分析第三章作业

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一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。 

一、请写出以下题目的动态规划方程：

 

·1.状态表示：

数组a[n]表示每堆石子的质量

sum[i][j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量；

p[i][j]表示从第i堆石子到第j堆石子的最小代价；

 

2.状态转移方程：

P[i][j]=min(p[i][j],p[i][k]+p[k+1][j]+sum[i][j])         1<=i<k<j<=N

 

3.边界条件：

当i==j时，p[i][i]=0

 

4.时间复杂度：O（n^3)

5.空间复杂度：O（n^2)

 

二、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

动态规划法就是将所求的问题划分为多个子问题，求出子问题的最优解，再一步一步解决这个大问题。在解决问题的过程中，要先设法将动态规划方程写出来，找到它的边界条件，再进行依次填表，求出子问题的最优解、大问题的最优解。

    动态规划是很灵活的一种解题方法。做题的时候也是有难度，应该明确好动态规划方程，分清楚其中的状态表示，这样才能灵活运用动态规划。