算法设计与分析第三章作业

计科2101郑炯扬 2022-11-13 20:49:23

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2，又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：f[i][j]表示将i到j这一段石子合并成一堆的方案的集合，属性是Min

状态方程：i < j 时，f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k+1][j] + s[j] - s[i-1]) （s[N]为前缀和）

边界条件：i = j 时，f[i][j] = 0 （合并一堆石子的代价为0）

问题答案：f[1][n]

时间、空间复杂度分析：时间复杂度：O(n^3)；空间复杂度：O(n^2)

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N=310;
int n;
int a[N],s[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1]+a[i]; // 求前缀和
    
    // 初始化
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0;

    for(int len=2;len<=n;len++) // 区间长度
        for(int i=1;i+len-1<=n;i++) // 枚举起点
        {
            int l=i,r=i+len-1; // 区间终点
            for(int k=l;k<r;k++)
                f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
        }
        
    cout<<f[1][n]<<endl;
    
    return 0;
}

样例运行结果：