算法设计与分析第三章作业

[软工2103陈洪基]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量

现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：

用数组a[N]表示每堆石子的质量，

用数组sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量，

用数组dp[i][j]表示第i堆到第j堆的最小代价和

状态方程：

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j])

边界条件：

        i==j时，dp[i][j]=0

        j==0时，dp[i][j]=0

时间、空间复杂度分析：

有三个参数，i，j，k,进行三重循环，时间复杂度为O(n^3)

使用dp[i][j]来记录数据,所以空间复杂度为O(n^2)

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

1.动态规划的使用，思路是对问题进行层层递进的分割，成为一个个连续的具有逻辑关系的子问题，再求解

2.可以使用填表法，方便且清晰，可以减少重复

3.学会找递归方程，找临界条件