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算法设计与分析第三章作业
一、请写出以下题目的动态规划方程：
设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这 N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。
输入样例
4
1352
输出样例
22
思路
核心：
不管怎么样，最后一定是左边的某一部分与右边的某一部分合并。那就把这堆石子分成俩部分。
状态表示：
f[i][j] 表示将 i 到 j合并成一堆的方案的集合，属性 Min**
状态计算：
(1) i<j时，f[i][j]=mini≤k≤j−1 f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]−s[i−1]
(2) i=j 时， f[i][i]=0 （合并一堆石子代价为 0）
**问题答案： **
f [1] [n]
==写的时候，第一维枚举区间长度，第二维枚举起点==
==时间复杂度：O（n^3)==
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e3;
int n;
int f[N][N];
int s[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
scanf("%d",&s[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
s[i]+=s[i-1];
for(int len=1;len<n;len++)
for(int i=1;i+len<=n;i++)
{
int l=i,r=i+len;
f[l][r]=1e8;
for (int k = l; k < r; k ++ )
f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
}
return cout<<f[1][n],0;
}
还有一种合并可以是任意俩堆进行合并，上面是相邻的合并；
求解最小代价，想到这，想起哈夫曼树了（或者大根堆）
哈夫曼树就是从其中任意选2个最小进行构建树
最先合并的必定是合并次数最多的，合并次数越多意味着这两个数加的次数越多，加的数越大那么自然答案也会变大，这样就不是最优解了，所以每次必须合并两堆最小的。剩下每次合并同理。
时间复杂度：O（ nlogn )
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
int n;
int main()
{
while(~scanf("%d", &n)){
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>heap;
while (n -- )
{
int x;
scanf("%d", &x);
heap.push(x);
}
int res=0;
while(heap.size()>1)
{
int a=heap.top();heap.pop();
int b=heap.top();heap.pop();
res+=a+b;
heap.push(a+b);
}
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}
二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考
看一下这道题（此题目来源于北大POJ）：数字三角形(POJ1163)
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99
输入格式：
5 //表示三角形的行数 接下来输入三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求输出最大和
接下来，我们来分析一下==解题思路==：
首先，肯定得用二维数组来存放数字三角形
然后我们用D( r, j) 来表示第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)
我们==用MaxSum(r, j)表示从D(r,j)到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。==
因此，此题的最终问题就变成了求 MaxSum(1,1)
当我们看到这个题目的时候，首先想到的就是可以用简单的递归来解题：
==D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形，我们可以写出如下的递归式：==
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)
根据上面这个简单的递归式，我们就可以很轻松地写出完整的递归代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i, int j){
if(i==n)
return D[i][j];
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
return max(x,y)+D[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
==超时了==
我们重复计算了，当我们在进行递归时，计算机帮我们计算的过程如下图：
就拿第三行数字1来说，当我们计算从第2行的数字3开始的MaxSum时会计算出从1开始的MaxSum，当我们计算从第二行的数字8开始的MaxSum的时候又会计算一次从1开始的MaxSum，也就是说有重复计算。这样就浪费了大量的时间。也就是说如果采用递规的方法，深度遍历每条路径，存在大量重复计算。则时间复杂度为 2的n次方,对于 n = 100 行，肯定超时。
接下来，我们就要考虑如何进行改进，我们自然而然就可以想到如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用n方的时间复杂度完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2
根据这个思路，我们就可以将上面的代码进行改进，使之成为记忆递归型的动态规划程序：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i, int j){
if( maxSum[i][j] != -1 )
return maxSum[i][j];
if(i==n)
maxSum[i][j] = D[i][j];
else{
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++) {
cin >> D[i][j];
maxSum[i][j] = -1;
}
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}
虽然在短时间内就AC了。但是，我们并不能满足于这样的代码，因为递归总是需要使用大量堆栈上的空间，很容易造成栈溢出，我们现在就要考虑如何把递归转换为递推，让我们一步一步来完成这个过程。
我们首先需要计算的是最后一行，因此可以把最后一行直接写出，如下图：
现在开始分析倒数第二行的每一个数，现分析数字2，2可以和最后一行4相加，也可以和最后一行的5相加，但是很显然和5相加要更大一点，结果为7，我们此时就可以将7保存起来，然后分析数字7，7可以和最后一行的5相加，也可以和最后一行的2相加，很显然和5相加更大，结果为12，因此我们将12保存起来。以此类推。。我们可以得到下面这张图：
然后按同样的道理分析倒数第三行和倒数第四行，最后分析第一行，我们可以依次得到如下结果：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
for( int i = 1;i <= n; ++ i )
maxSum[n][i] = D[n][i];
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1][1] << endl;
}
我们仍然可以继续优化，而这个优化当然是对于空间进行优化，其实完全没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就可以。
对于空间优化后的具体递推过程如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int * maxSum;
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] << endl;
}
==（题解参考其他博客）==
接下来，我们就进行一下总结：
递归到动规的一般转化方法
递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始， 逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。
动规解题的一般思路
- 将原问题分解为子问题
把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。
- 确定状态
在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
- 确定一些初始状态（边界状态）的值
以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。
- 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。
==数字三角形的状态转移方程：==
==能用动规解决的问题的特点：==
问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。
无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系
...全文
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