算法设计与分析第三章作业

[软工2103梁瑞驹]

一、请写出以下题目的动态规划方程：

设有 N堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。
每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述。用数组a[N]表示每堆石子的质量，sum[i,j]表示第i堆石子到第j堆石子的总质量
现在要将这N堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；
如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。
问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

状态表示：

dp[i][j] 表示合并第i堆石子到第j堆石子的最小代价;

状态方程：

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i][j]) (i <= k < j)

边界条件：

dp[i][j] = 0 (i = j)

时间复杂度分析：

第一层循环遍历区间【i, j】的长度， 第二层循环遍历起点 i， 第三层循环遍历截点 k， 所以时间复杂度为O(n^3)。

空间复杂度分析：

开辟了新数组dp[i][j]存放最小代价，所以空间复杂度为O(n^2)。

二.、结合本章的学习，总结你对动态规划法的体会和思考

• 动态规划算法的核心就是记住已经解决过的子问题的解，问题多次求解的时候可以直接查表，解决问题的效率大大提高。
• 动态规划最关键的是找到题目要求的状态方程，有了状态方程就能很容易写出代码了。
• 注意边界条件！！！